直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆，点M（2，3）过M点引直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的中点P的轨迹方程．

正确答案

解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x，y），直线AB：y-3=k（x-2）

则x12+4y12=4①，x22+4y22=4②

①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

整理得：

化简得：k=代入y-3=k（x-2）

整理得：x2+4y2-2x-12y=0，（x＜2）即为AB的中点P的轨迹方程

解析

解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x，y），直线AB：y-3=k（x-2）

则x12+4y12=4①，x22+4y22=4②

①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

整理得：

化简得：k=代入y-3=k（x-2）

整理得：x2+4y2-2x-12y=0，（x＜2）即为AB的中点P的轨迹方程

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题型：简答题

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简答题

已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．

（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．

（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．

（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．

正确答案

解：（1）由题意知，直线L的方程为y+=（x+），即y=x；

圆C的方程为x2+y2=1，抛物线Q的方程为

草图为：

（2）由，解得A点横坐标．

∴线段PA的函数表达式为：

由，解得B点横坐标．

∴圆弧AB的函数表达式为：

∴抛物线上OB一段的函数表达式为：．

（3）如下图所求的面积为图中阴影部分，

由（2）和题意知，P‘点的横坐标为-和点P，

∴．

∵A点横坐标，B点横坐标，∴∠AOB==，

∴扇形OAB的面积为．．

∴所求面积（图中阴影部分）．

解析

解：（1）由题意知，直线L的方程为y+=（x+），即y=x；

圆C的方程为x2+y2=1，抛物线Q的方程为

草图为：

（2）由，解得A点横坐标．

∴线段PA的函数表达式为：

由，解得B点横坐标．

∴圆弧AB的函数表达式为：

∴抛物线上OB一段的函数表达式为：．

（3）如下图所求的面积为图中阴影部分，

由（2）和题意知，P‘点的横坐标为-和点P，

∴．

∵A点横坐标，B点横坐标，∴∠AOB==，

∴扇形OAB的面积为．．

∴所求面积（图中阴影部分）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：的离心率为，半焦距为c（c＞0），且a-c=1，经过椭圆的左焦点F1斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C、D两点，直线CD的斜率为k2，求的值及直线CD所经过的定点坐标．

正确答案

解：（1）依题意，得，解得，

在椭圆中，b2=a2-c2=32-22=5．

∴椭圆C的标准方程为：+=1（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），显然y1≠0，y3≠0，

故直线AR的方程为x=y+1，代入椭圆方程，消去x得：y2+y-4=0，由韦达定理得：y1y3=-，

∴y3=-代入直线AR的方程得x3=，

∴C（，），

∵y1=k1（x1+2），则C（，）即（5+，4k1+），同理得D（5+，4k1+）

显然C，D两点坐标均满足直线y=4k1+k1（x-5）的方程，

所以直线CD的方程为y=k1（x-），

∴=，且直线CD过定点（，0）（12分）

解析

解：（1）依题意，得，解得，

在椭圆中，b2=a2-c2=32-22=5．

∴椭圆C的标准方程为：+=1（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），显然y1≠0，y3≠0，

故直线AR的方程为x=y+1，代入椭圆方程，消去x得：y2+y-4=0，由韦达定理得：y1y3=-，

∴y3=-代入直线AR的方程得x3=，

∴C（，），

∵y1=k1（x1+2），则C（，）即（5+，4k1+），同理得D（5+，4k1+）

显然C，D两点坐标均满足直线y=4k1+k1（x-5）的方程，

所以直线CD的方程为y=k1（x-），

∴=，且直线CD过定点（，0）（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

正确答案

（1）解：设椭圆方程为，

由题意可得：，解得a2=8，b2=2．

∴椭圆方程为．

（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可．

设A（x1，y1），B（x2，y2）直线，

则．

联立方程，得x2+2mx+2m2-4=0，

∴．

而，

其分子=+

=x1x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）=2m2-4-2m（m-2）-4m+4=0，

∴k1+k2=0．

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

解析

（1）解：设椭圆方程为，

由题意可得：，解得a2=8，b2=2．

∴椭圆方程为．

（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可．

设A（x1，y1），B（x2，y2）直线，

则．

联立方程，得x2+2mx+2m2-4=0，

∴．

而，

其分子=+

=x1x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）=2m2-4-2m（m-2）-4m+4=0，

∴k1+k2=0．

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

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题型：简答题

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简答题

抛物线y2=2px（p＞0）上任一点Q到其内一点P（3，1）及焦点F的距离之和的最小值为4．

（1）求抛物线的方程；

（2）设动直线y=kx+b与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且|y1-y2|的值为定值a（a＞0），过弦AB的中点M作平行于抛物线的轴的直线交抛物线于点D，求△ABD的面积．

正确答案

解：（1）如图所示，由抛物线定义，，∴p=2，

∴抛物线的方程为y2=4x．

（2）如下图：由得=0，

∴．

∴|DM|=．

∴．

∵|y1-y2|====a，

∴．

解析

解：（1）如图所示，由抛物线定义，，∴p=2，

∴抛物线的方程为y2=4x．

（2）如下图：由得=0，

∴．

∴|DM|=．

∴．

∵|y1-y2|====a，

∴．

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题型：简答题

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简答题

已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程．

（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．

（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线L过定点有关的数学问题，并解答所提问题．

正确答案

解：（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．（1分）

由抛物线定义得：点P在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上，（1分）

抛物线方程为y2=8x．（2分）

解法（B）：设动点P（x，y），则．

当x≤-4时，（x-2）2+y2=（-x-6）2，

化简得：y2=8（x+2），显然x≥-2，而x≤-4，此时曲线不存在．

当x＞-4时，（x-2）2+y2=（x+2）2，化简得：y2=8x．

（2）设直线L：y=kx+b与抛物线交予点（x1，y1），（x2，y2），（a）若L斜率存在，设为k，，，（1分），，即，b=-8k，（2分）

直线为y=k（x-8），所以L过定点（8，0）（1分）

（3）（逆命题）如果直线L过定点（8，0），且与抛物线y2=8x相交于A、B两点，O为坐标原点．求证：．

证明：∵直线L过定点（8，0），

∴设其方程为y=k（x-8），设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程组，消去y，并整理得k2x2-（16k2+8）x+64k2=0，

∴，x1x2=64，

y1y2=k（x1-8）•k（x2-8）

=k2x1x2-8k2（x1+x2）+64k2

=-64．

∴．

解析

解：（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．（1分）

由抛物线定义得：点P在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上，（1分）

抛物线方程为y2=8x．（2分）

解法（B）：设动点P（x，y），则．

当x≤-4时，（x-2）2+y2=（-x-6）2，

化简得：y2=8（x+2），显然x≥-2，而x≤-4，此时曲线不存在．

当x＞-4时，（x-2）2+y2=（x+2）2，化简得：y2=8x．

（2）设直线L：y=kx+b与抛物线交予点（x1，y1），（x2，y2），（a）若L斜率存在，设为k，，，（1分），，即，b=-8k，（2分）

直线为y=k（x-8），所以L过定点（8，0）（1分）

（3）（逆命题）如果直线L过定点（8，0），且与抛物线y2=8x相交于A、B两点，O为坐标原点．求证：．

证明：∵直线L过定点（8，0），

∴设其方程为y=k（x-8），设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程组，消去y，并整理得k2x2-（16k2+8）x+64k2=0，

∴，x1x2=64，

y1y2=k（x1-8）•k（x2-8）

=k2x1x2-8k2（x1+x2）+64k2

=-64．

∴．

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题型：填空题

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填空题

过椭圆右焦点F且倾斜角为45°的直线交椭圆于A、B两点，若|FB|=2|FA|，则椭圆的离心率为______．

正确答案

解析

解：如图，设椭圆的右准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，

在直角△ABG中，∠BAG=45°，所以AB=AG，…①

由圆锥曲线统一定义得：e==，

∵|FB|=2|AF|，∴|BD|=2|AC|，

在直角梯形ABDC中，AG=BD-AC=AC，…②

由①、②可得AB=AC，

又∵AF=AB=AC，

∴e==，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0），F为其焦点，离心率为e．

（Ⅰ）若抛物线x=y2的准线经过F点且椭圆C经过P（2，3），求此时椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过A（0，a）的直线与椭圆C相切于M，交x轴于B，且=，求证：μ+c2=0．

正确答案

解：（Ⅰ）依题意知F（-2，0），即c=2，（2分）

由椭圆定义知：，（3分）

所以b2=12，

即椭圆C的方程为：．（5分）

（Ⅱ）证明：由题意可设直线的方程为：y=kx+a

根据过A（0，a）的直线与椭圆相切

可得：（a2k2+b2）x2+2a3kx+a2c2=0（8分）

△=4a6k2-4a2c2（a2k2+b2）=0⇒a2k2（a2-c2）=c2b2⇒k2=e2（10分）

易知，

设M（x0，y0）则由上知（11分）

由知，，

∴μ+c2=0（13分）

解析

解：（Ⅰ）依题意知F（-2，0），即c=2，（2分）

由椭圆定义知：，（3分）

所以b2=12，

即椭圆C的方程为：．（5分）

（Ⅱ）证明：由题意可设直线的方程为：y=kx+a

根据过A（0，a）的直线与椭圆相切

可得：（a2k2+b2）x2+2a3kx+a2c2=0（8分）

△=4a6k2-4a2c2（a2k2+b2）=0⇒a2k2（a2-c2）=c2b2⇒k2=e2（10分）

易知，

设M（x0，y0）则由上知（11分）

由知，，

∴μ+c2=0（13分）

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P（3，）且与x轴交于点F（2，0）．

（1）求直线l的方程．

（2）如果椭圆C经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程．

（3）若在（1）、（2）的情况下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且，当取最小值时，求λ的对应值．

正确答案

解：（1）直线方程为，整理，得；

（2）设椭圆方程为，（5分）

依题意有：，解之得

所求椭圆方程为：…（8分）

（3）由消去y得，x2-3x=0，

所以，x=0或x=3，代回直线方程可得，或

因此知，（10分）

由知，点M在直线PQ上，

当最小时，OM⊥PQ，此时OM的方程为（12分）

由解得，（14分）

代入得

所以，当最小时，．

解析

解：（1）直线方程为，整理，得；

（2）设椭圆方程为，（5分）

依题意有：，解之得

所求椭圆方程为：…（8分）

（3）由消去y得，x2-3x=0，

所以，x=0或x=3，代回直线方程可得，或

因此知，（10分）

由知，点M在直线PQ上，

当最小时，OM⊥PQ，此时OM的方程为（12分）

由解得，（14分）

代入得

所以，当最小时，．

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题型：单选题

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单选题

已知椭圆+y2=1，椭圆的中心为坐标原点O，点F是椭圆的右焦点，点A是椭圆短轴的一个端点，过点F的直线l与椭圆交于M、N两点，与OA所在直线交于E点，若=λ1，=λ2，则λ1+λ2=（　　）

A-10

B10

C-5

D5

正确答案

A

解析

解：设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＞x2）则

∵椭圆+y2=1，∴c=2，

∵=λ1，=λ2，∴λ1+λ2=+

设直线方程为y=k（x-2），代入椭圆方程可得（1+5k2）x-20k2x+20k2-5=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴+==-10，

∴λ1+λ2=-10．

故选：A．

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