热门试卷

解：（Ⅰ）由题意，椭圆的焦点在x轴上，

可得，∴a=，b=1，c==1，

∴椭圆C1的方程为+y2=1；

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），又F（1，0），

则△BMN的重心为（，），

由题意可得x1+x2=3，y1+y2=-1，

设直线l：y=kx+t，代入椭圆C1的方程，可得

（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，

即有x1+x2=-，

即4kt=-3（1+2k2），

又k（x1+x2）+2t=-1，即有+2t=-1，

解得k=，t=-，

代入判别式（4kt）2-4（1+2k2）（2t2-2）＞0成立，

即有直线l的方程为y=x-；

（Ⅲ）证明：设直线l：y=kx+t，代入椭圆C1的方程，可得

（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

即有x1+x2=-，

则有MN的中点的横坐标为-；

设直线l：y=kx+t，代入椭圆C2：+y2=λ的方程，可得

（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2λ=0，

设P（x3，y3），Q（x4，y4），

即有x3+x4=-，

则有PQ的中点的横坐标为-．

即有MN和PQ的中点重合，

即有|PM|=|NQ|．

解：（I）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则．

设椭圆方程为，，于是解得，

∴所求椭圆方程为．（6分）

（II）∵条件等价于

∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，）不在x轴上矛盾．

∴可设直线l：y=kx+m（k≠0）

由

得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0

由△=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-4）＞0得4k2+1＞m2．（10分）

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为Q（x0，y0），

则．

∵，∴，即．

解得：（12分）

（将点的坐标代入亦可得到此结果）

由4k2+1＞m2，得4k2＜143

∴

∴存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围是．（14分）

解：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x1，y1），则N1（x1，0），

又，

∴，，，

于是，

即（x，y）=，

∴，代入，得5x2+y2=36．

∴曲线C的方程是5x2+y2=36．

（Ⅱ）设A（x，y），由=3及P在第一象限知P（3m，3n），m＞0，n＞0，

∵A∈C1，P∈C2，

∴5m2+n2=36，5m2-n2=4，

解得m=2，n=4，即A（2，4），P（6，12），

设Q（x，y），则5x2-y2=36①，

由S=-26tan∠PAQ，得，

∴，

即（4，8）•（x-2，y-4）=-52x+2y+3=0②

联立①②，解得，或，

∵Q在双曲线的右支，∴Q（3，-3）．

由P（6，12），Q（3，-3）得l的方程为，

即5x-y-18=0．

解：（Ⅰ）设双曲线方程为，，

由，∠F1F2P=90°及勾股定理得，

由双曲线定义得 ．

则．

（Ⅱ）∵，∴，双曲线的两渐近线方程为．

由题意，设l的方程为y=x+c，l与y轴的交点为M（0，c）．

若l与y=交于点A，l与y=-交于点B，

由，得；由，得，

=

=，

∴c=4，

∴a=2，则，

故双曲线方程为．

解：（1）依题意，e==，且，a2-b2=c2，

∴a=2，b=，c=1，

∴椭圆E的方程为；

（2）设直线AB的方程为y=kx+m，

由得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

∴，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，

∵O为重心，∴=，

∵C在椭圆上，∴，

可得，4m2=4k2+3，

而|AB|==

d==（或利用d是O到AB的距离的3倍得到）

∴S△ABC=|AB|•d===

若直线AB的斜率不存在时，|AB|=3，d=3，S△ABC=，

∴△ABC的面积为定值．

（1）解：椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，

抛物线的焦点坐标（0，），∴b=

∴b2=3

∴a2=b2+c2=4

∴椭圆C：…（3分）

（2）证明：由题意，m≠0，，设A（x1，y1），B（x2，y2）

由，∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0

∴…（6分）

又由得：，

∴…（8分）

（3）解：m=0时，得N（，0），猜想：m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0），

由（2）知A（x1，y1），B（x2，y2）于是 D（4，y1），E（4，y2），

先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：

当x=时

所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上．

即m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0）…（13分）

解：（Ⅰ）∵且

∴

∴椭圆E得方程为：

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=-x+n，设A（x1，y1）B（x2，y2）

由得3x2-4nx+2n2-6=0

∵△＞0∴-3＜n＜3

∵设A．B的中点C（x0，y0），

则点C在ly=-x+n上

∴n=3m即-3＜3m＜3得-1＜m＜1

（Ⅲ）依题意得：△APB是等腰三角形，

∴

∵

∴

∴当n=0时，S△APB取最大值

解：（Ⅰ）由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．…（1分）

椭圆中a2-b2=4-3=1，得c=1，∴抛物线的焦点为（1，0），

∴=1，∴p=2，∴抛物线D的方程为y2=4x．…（3分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（i）直线l的方程为：y=x-4，…（4分）

联立，整理得：x2-12x+16=0…（5分）

∴x1+x2=12，x1x2=16

∴|AB|==．…（7分）

（ⅱ） 设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|2=|MG|2-|ME|2，…（9分）

即|EG|2=|MA|2-|ME|2=

=

==…（11分）

当a=3时，|EG|2=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值．…（12分）

因此存在直线m：x=3满足题意                        …（13分）