直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为______．

正确答案

（-4，0），（4，0）

解析

解：∵抛物线y2=16x的焦点为（4，0），

双曲线的焦点坐标为：（4，0），（-4，0）；

故双曲线中的c=4，且满足 =2，故a=2，

b=，

所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x

故答案为：（4，0），（-4，0）；y=x

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题型：单选题

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单选题

过抛物线y2=2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO为（　　）

A锐角三角形

B直角三角形

C不确定

D钝角三角形

正确答案

D

解析

解：设过A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），

则＜0，即，∴三角形为钝角三角形．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

若经过点P（0，2）且以为方向向量的直线l与双曲线3x2-y2=1相交于不同两点A、B，则实数a的取值范围是______．

正确答案

解析

解：由题意可得，直线l的斜率为 a，故直线l的方程为 y-2=a（x-0），代入双曲线3x2-y2=1化简可得

（3-a2）x2-4ax-5=0，由题意可得：3-a2≠0，且 60-4a2＞0．

即 a≠±，且-＜a＜，故实数a的取值范围是，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

给定椭圆C：=1（＞b＞0），将圆心在原点O、半径是的圆称为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的方程为+y2=1．

（Ⅰ）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；

（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与X轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求•的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由椭圆C的方程为+y2=1．

得其“准圆”方程为x2+y2=4．

则P点坐标为（0，2），∵直线l过P且与椭圆C只有一个交点，

则直线l的方程可设为y=kx+2，将其代入椭圆方程可得：

x2+3（kx+2）2=3，即（3k2+1）x2+12kx+9=0．

由△=（12k）2-36（3k2+1）=0，解得k=±1，

∴直线l1 的方程为y=x+2，l2 的方程为y=-x+2，

或直线l1 的方程为y=-x+2，l2 的方程为y=x+2；

（Ⅱ）如图，

由题意可设B（m，n），D（m，-n）（），

则有，

又点A的坐标为（2，0），故．

故

=．

又，

故．

∴的取值范围是[0，7+4）．

解析

解：（Ⅰ）由椭圆C的方程为+y2=1．

得其“准圆”方程为x2+y2=4．

则P点坐标为（0，2），∵直线l过P且与椭圆C只有一个交点，

则直线l的方程可设为y=kx+2，将其代入椭圆方程可得：

x2+3（kx+2）2=3，即（3k2+1）x2+12kx+9=0．

由△=（12k）2-36（3k2+1）=0，解得k=±1，

∴直线l1 的方程为y=x+2，l2 的方程为y=-x+2，

或直线l1 的方程为y=-x+2，l2 的方程为y=x+2；

（Ⅱ）如图，

由题意可设B（m，n），D（m，-n）（），

则有，

又点A的坐标为（2，0），故．

故

=．

又，

故．

∴的取值范围是[0，7+4）．

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题型：单选题

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单选题

已知直线y=x+2与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

解：设切点为（x0，y0），

由题意可得：曲线的方程为y=ln（x+a），

所以y′=．

所以k切==1，并且y0=x0+2，y0=ln（x0+a），

解得：y0=0，x0=-2，a=3．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知点M在椭圆+=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形．

（1）求椭圆的方程和圆M的方程．

（2）若点D的坐标为（0，3），M、N是椭圆上的两个动点，且=λ，求实数λ的取值范围．

正确答案

解：（1）设M（x0，y0），圆M的半径为r．

因为椭圆的右焦点的坐标为（c，0），圆M与x轴相切于点F，

所以MF⊥x轴，所以x0=c，r=|y0|①

因为点M在椭圆上，所以

将上式代入，结合a2-c2=b2，

可得r=②

因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，

所以=2，d=c=

又因为a2-b2=c2

从而有a2-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）

所以b2=2a=6

所求椭圆方程是：；

（2）设N（s，t），M（x，y），则由=λ，

可得（x，y-3）=λ （s，t-3）．

故x=λs，y=3+λ （t-3）．

∵M、N在曲线C上，

∴，

由题意知λ≠0，且λ≠1，消去s，

解得t=

又|t|≤，

∴||≤．

解得5-2≤λ≤5+2（λ≠1）．

故实数λ的取值范围是5-2≤λ≤5+2（λ≠1）．

解析

解：（1）设M（x0，y0），圆M的半径为r．

因为椭圆的右焦点的坐标为（c，0），圆M与x轴相切于点F，

所以MF⊥x轴，所以x0=c，r=|y0|①

因为点M在椭圆上，所以

将上式代入，结合a2-c2=b2，

可得r=②

因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，

所以=2，d=c=

又因为a2-b2=c2

从而有a2-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）

所以b2=2a=6

所求椭圆方程是：；

（2）设N（s，t），M（x，y），则由=λ，

可得（x，y-3）=λ （s，t-3）．

故x=λs，y=3+λ （t-3）．

∵M、N在曲线C上，

∴，

由题意知λ≠0，且λ≠1，消去s，

解得t=

又|t|≤，

∴||≤．

解得5-2≤λ≤5+2（λ≠1）．

故实数λ的取值范围是5-2≤λ≤5+2（λ≠1）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆上任一点P到两个焦点的距离的和为，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为．设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）若（O为坐标原点），求|y1-y2|的值；

（Ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA、QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由椭圆的定义知a=，又，∴b2=2，c2=a2-b2=1．

∴椭圆P（x0，y0）的方程是．

∵，∴，

∴，

又，故|y1-y2|=4．

（Ⅱ）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l、QA、QB斜率存在且不为零．

设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）则

∵直线QA、QB的倾斜角互为补角，

∴kQA+kQB=0，∴．

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0，

∴，

化为2m-6=0，解得m=3，

∴存在Q（3，0）使得直线QA、QB的倾斜角互为补角．

解析

解：（Ⅰ）由椭圆的定义知a=，又，∴b2=2，c2=a2-b2=1．

∴椭圆P（x0，y0）的方程是．

∵，∴，

∴，

又，故|y1-y2|=4．

（Ⅱ）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l、QA、QB斜率存在且不为零．

设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）则

∵直线QA、QB的倾斜角互为补角，

∴kQA+kQB=0，∴．

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0，

∴，

化为2m-6=0，解得m=3，

∴存在Q（3，0）使得直线QA、QB的倾斜角互为补角．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x-y+=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，求证：直线AB过定点；

（Ⅲ）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点D、E，当△ODE面积最大时，求|DE|．

正确答案

（Ⅰ）解：∵等轴双曲线的离心率为，

∴由离心率互为倒数，得椭圆的离心率为e=，即e2===，

即a2=2b2，

∵直线l：x-y+=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2相切．

∴b=1，a2=2，

即椭圆的方程为：+y2=1．

（Ⅱ）证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB：：y=kx+m，m≠±1，M（0，1）

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程和直线方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，

x1+x2=-，x1x2=，由已知k1+k2=4，可得=4

即=4，2k-4+（m-1）=0，

将x1+x2，x1x2代入得到，k=2（m+1），即m=-1，

则AB：y=kx+-1，即y=k（x+）-1，AB恒过定点（-，-1）；

②若直线AB斜率不存在，设AB：x=x0，则A（x0，y0），B（x0，-y0），由=4，

得x0=-，故直线AB：x=-，故直线AB也过定点（-，-1）．

综上，直线AB恒过定点（-，-1）．

（Ⅲ）设直线l：y=tx+2，设D（x3，y3），E（x4，y4），联立椭圆方程和直线l的方程，

得到（1+2t2）x2+8tx+6=0

由△＞0得t2＞，x3+x4=-，x3x4=，

则|DE|=|x3-x4|=

由O到直线l的距离d=，

故△ODE的面积S=d•|DE|=，

令u=＞0，则2t2=u2+3，

则S==≤=．

当且仅当u=2，即t=，|DE|=，△ODE的面积最大．

解析

（Ⅰ）解：∵等轴双曲线的离心率为，

∴由离心率互为倒数，得椭圆的离心率为e=，即e2===，

即a2=2b2，

∵直线l：x-y+=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2相切．

∴b=1，a2=2，

即椭圆的方程为：+y2=1．

（Ⅱ）证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB：：y=kx+m，m≠±1，M（0，1）

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程和直线方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，

x1+x2=-，x1x2=，由已知k1+k2=4，可得=4

即=4，2k-4+（m-1）=0，

将x1+x2，x1x2代入得到，k=2（m+1），即m=-1，

则AB：y=kx+-1，即y=k（x+）-1，AB恒过定点（-，-1）；

②若直线AB斜率不存在，设AB：x=x0，则A（x0，y0），B（x0，-y0），由=4，

得x0=-，故直线AB：x=-，故直线AB也过定点（-，-1）．

综上，直线AB恒过定点（-，-1）．

（Ⅲ）设直线l：y=tx+2，设D（x3，y3），E（x4，y4），联立椭圆方程和直线l的方程，

得到（1+2t2）x2+8tx+6=0

由△＞0得t2＞，x3+x4=-，x3x4=，

则|DE|=|x3-x4|=

由O到直线l的距离d=，

故△ODE的面积S=d•|DE|=，

令u=＞0，则2t2=u2+3，

则S==≤=．

当且仅当u=2，即t=，|DE|=，△ODE的面积最大．

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题型：简答题

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简答题

已知F1是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=4y共同的焦点，M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．

（1）试求椭圆C1的方程；

（2）已知点P是椭圆C1上的动点，GH是圆x2+（y+1）2=1的直径，试求•的最大值；

（3）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A、B两点，若椭圆上的点P满足+=λ，求实数λ的取值范围．

正确答案

解：（1）由已知F1（0，1），

∴a2-b2=1，①

设M（x0，y0），（x0＜0），

则|MF1|=，解得，，

∴．②

由①②得a2=4，b2=3．

故椭圆的方程为．

（2）由题意，圆过原点，设G（x1，y1），H（x2，y2），

∵GH是圆的直径，

∴x1x2+y1y2=0．

设P（x3，y3），则，

∴-；

又GH的中心是（0，-1），

∴x1+x2=0，y1+y2=-2，而，

∴，

又∵-2≤y3≤2，

∴当y3=2时，最大，并且最大值为8．

（3）∵直线l：y=k（x+t），（t≠0）与圆x2+（y+1）2=1相切，

∴⇒k=，（t≠0）．③

将直线y=k（x+t）代入椭圆方程，整理得

（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2-12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则=k（x1+t）+k（x2+t）=k（x1+x2）+2kt=，

∵，

∴P（），

又P在椭圆上，

∴，解得，

将③代入整理得：（t≠0）

∴0＜λ2＜4，

∴λ的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．

解析

解：（1）由已知F1（0，1），

∴a2-b2=1，①

设M（x0，y0），（x0＜0），

则|MF1|=，解得，，

∴．②

由①②得a2=4，b2=3．

故椭圆的方程为．

（2）由题意，圆过原点，设G（x1，y1），H（x2，y2），

∵GH是圆的直径，

∴x1x2+y1y2=0．

设P（x3，y3），则，

∴-；

又GH的中心是（0，-1），

∴x1+x2=0，y1+y2=-2，而，

∴，

又∵-2≤y3≤2，

∴当y3=2时，最大，并且最大值为8．

（3）∵直线l：y=k（x+t），（t≠0）与圆x2+（y+1）2=1相切，

∴⇒k=，（t≠0）．③

将直线y=k（x+t）代入椭圆方程，整理得

（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2-12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则=k（x1+t）+k（x2+t）=k（x1+x2）+2kt=，

∵，

∴P（），

又P在椭圆上，

∴，解得，

将③代入整理得：（t≠0）

∴0＜λ2＜4，

∴λ的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．

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题型：简答题

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简答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．

（1）求a，b的值；

（2）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当＞时，求k的取值范围．

正确答案

解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，

又a2=b2+c2，

联立解得a=2，b=1． …（4分）

（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，-1）．

因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y=kx-1，

代入+y2=1，得M（，），

从而DM=． …（6分）

用-代k得DN=．

所以△DMN的面积S=⋅×=． …（8分）

则=，

因为＞，即＞，

整理得4k4-k2-14＜0，解得-＜k2＜2

所以0＜k2＜2，即-＜k＜0或0＜k＜．

从而k的取值范围为（-，0）∪（0，）．

解析

解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，

又a2=b2+c2，

联立解得a=2，b=1． …（4分）

（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，-1）．

因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y=kx-1，

代入+y2=1，得M（，），

从而DM=． …（6分）

用-代k得DN=．

所以△DMN的面积S=⋅×=． …（8分）

则=，

因为＞，即＞，

整理得4k4-k2-14＜0，解得-＜k2＜2

所以0＜k2＜2，即-＜k＜0或0＜k＜．

从而k的取值范围为（-，0）∪（0，）．

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