热门试卷

解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．

所以椭圆C的方程是．                   …（4分）

（Ⅱ）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．

直线y=k（x-1）（k≠0）代入椭圆可得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=．

又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）．

由题意可知直线AM的方程为y=（x-2），故点P（0，-）．

直线BM的方程为y=（x-2），故点Q（0，-）．

若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0），则等价于=0恒成立．

又因为=（x0，），=（x0，），

所以•=x02+•=0恒成立．

又因为（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=，

y1y2=k（x1-1）（x2-1）=，

所以x02+•=-3=-0．

解得x0=．

故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点（，0）．    …（14分）

解：（1）双曲线C1：左顶点A（-），

渐近线方程为：y=±x．

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，

所以，解得．

所以所求三角形的面积为S=．

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，

因直线PQ与已知圆相切，故，

即b2=2，由，

得x2-2bx-b2-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

又y1y2=（x1+b）（x2+b）．

所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2

=2（-1-b2）+2b2+b2

=b2-2=0．

故PO⊥OQ．

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），

则直线OM的方程为y=，由

得，

所以．

同理，

设O到直线MN的距离为d，

因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以==3，

即d=．

综上，O到直线MN的距离是定值．

（1）解：由题意设双曲线的标准方程为，

由已知得：解得a=2b，

∵且△F1AF2的面积为1，

∴，|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2

∴（|F1A|-|F2A|）2=4c2-4=4a2

∴b=1，a=2，

∴双曲线C的标准方程为．

（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2） 联立y=kx+m与双曲线-y2=1

得（4k2-1）x2+8kmx+4（m2+1）=0

△=（8km）2-4（4m2+4）（4k2-1）＞0

即4k2-m2-1＜0

则，

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，

∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D（2，0）

∴，即（x1-2，y1）•（x2-2，y2）=0，

∴+m2+4=0，

化简，得3m2+16km+20k2=0，

∴m1=-2k，，且均满足4k2-m2-1＜0，

当m1=-2k时，直线l的方程为y=k（x-2），

直线过定点（2，0），与已知矛盾．

当m2=-k时，直线l的方程为y=k（x-），过定点（，0）．

解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则

|x-4|=2，即（x-4）2=4[（x-1）2+y2]，

整理得．

所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为；

（Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2．

椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．

设直线m的方程为：y=kx+3．

联立，

整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0．

．

因为2x1=x2．

则，得，

所以．

即，解得．

所以，直线m的斜率．

解：（1）由题意知，2b=4，∴b=2，又∵e==，且a2=b2+c2，

解得：a=，c=1，

∴椭圆C的标准方程为=1；             …4分

（2）①由（1）知：B（0，-2），F1（-1，0），∴BF1：y=-2x-2         …5分

设M（t，-2t-2），由=•，得                …7分

代入椭圆方程得：+6（t+1）2=1，

∴36t2+60t+25=0，∴（6t+5）2=0，∴t=-，∴M（-，-）     …9分

∴OM的斜率为，即直线OP的斜率为；                        …10分

②由题意，PF1：y=（x+1），即y0x-（x0+1）y+y0=0             …11分

∴d1=，同理可得：d2=

∴+=PF1+PF2=2a=…15分

解：（I）由题设切线y=kx-4（k显然存在）

又x2=4y联立得x2-4kx+16=0

∴△=0即16k2-4×16=0，解得k=±2

∴切线方程为y=±2x-4

（II）由题意，直线AC斜率存在，又对称性，不妨k＞0

∴AC：y=kx+1∴x2-4kx-4=0

又x2=4y

∴x1+x2=4kx1•x2=-4

∴=4（1+k2）

同理

∴=

当k=1时，“=”成立，∴Smin=32

解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1

由e==，∴a2=5，

所以椭圆C的标准方程为+y2=1；

（2）由（1）得F（2，0），则0≤m≤2

设直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0），代入椭圆方程，消去y可得（5k2+1）x2-20k2x+20k2-5=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴y1+y2=k（x1+x2-4），y1-y2=k（x1-x2）

∵

∴=0

∴（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y2-y1）（y1+y2）=0

∴=0

∴

∴

∴

∴当时，；

（3）在x轴上存在一个定点N，使得C、B、N三点共线

由题意C（x1，-y1），∴直线BC的方程为

令y=0，则x=

∵A，B在l的方程y=k（x-2）上

∴y1=k（x1-2），y2=k（x2-2）

∴x====

∴在x轴上存在一个定点N（，0），使得C、B、N三点共线．

（1）解：设点E（m，m），∵B（0，-2），∴A（2m，2m+2），

∵点A在椭圆C上，∴，

解得m=-或m=0（舍去），

∴A（-3，-1），

∴直线AB的方程为：x+3y+6=0；

（2）证明：设P（x0，y0），则，

①直线AP方程为：y+1=（x+3），

联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=，

同理xN=，

∴OM•ON=|xM|•|xN|=2|•|=2||=6