直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，-1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D

（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；

（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．

正确答案

解：（Ⅰ）m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），

分别代入x2=4y，得x2-4kx+4ka+4=0①，x2+4kx-4ka+4=0②，…（2分）

由△1=0得k2-ka-1=0，

由△2＞0得k2+ka-1＞0，…（4分）

故有2k2-2＞0，得k2＞1，即k＜-1或k＞1． …（6分）

（Ⅱ）F（0，1），kAF==-k，所以ak=2． …（8分）

由△1=0得k2=ka+1=3，

B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）

解析

解：（Ⅰ）m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），

分别代入x2=4y，得x2-4kx+4ka+4=0①，x2+4kx-4ka+4=0②，…（2分）

由△1=0得k2-ka-1=0，

由△2＞0得k2+ka-1＞0，…（4分）

故有2k2-2＞0，得k2＞1，即k＜-1或k＞1． …（6分）

（Ⅱ）F（0，1），kAF==-k，所以ak=2． …（8分）

由△1=0得k2=ka+1=3，

B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．

正确答案

解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），

则由题意知，，

∴a=2，b=1，

∴C的标准方程为．

∴C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0．

（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4．

设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及，解得，

设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4k，令y=0得，

∵xE2-4yE2=4，

∴

=

=．

解析

解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），

则由题意知，，

∴a=2，b=1，

∴C的标准方程为．

∴C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0．

（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4．

设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及，解得，

设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4k，令y=0得，

∵xE2-4yE2=4，

∴

=

=．

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线C：y=2x2与直线y=kx+2交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若，则k=______．

正确答案

解析

解：设A（x1，2x12），B（x2，2x22），

把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0

由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=-1，

所以M（），

所以N点的坐标为（）．

，，

所以=

=

=-1

=3

因为，

所以3=0

所以k=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：x=my+1（m∈R）与椭圆相交于E，F两点，与x轴相交于点B．，且当m=0时，|EF|=．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点A的坐标为（-3，0），直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点．试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由．

正确答案

解：（1）当m=0时，直线l的方程为x=1，设点E在x轴上方，

由，解得E（1，），F（1，-）．

所以|EF|==，解得t=2．

所以椭圆C的方程为．

（2）由，得（2m2+9）y2+4my-16=0，显然m∈R．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．

x1=my1+1，x2=my2+1．

又直线AE的方程为y=，

由，解得M（3，），

同理得N（3，）．又B（1，0），

所以=（2，），=（2，），

又因为•=（2，）•（2，）

=4+=4+

=

==0．

所以，所以以MN为直径的圆过点B．

解析

解：（1）当m=0时，直线l的方程为x=1，设点E在x轴上方，

由，解得E（1，），F（1，-）．

所以|EF|==，解得t=2．

所以椭圆C的方程为．

（2）由，得（2m2+9）y2+4my-16=0，显然m∈R．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．

x1=my1+1，x2=my2+1．

又直线AE的方程为y=，

由，解得M（3，），

同理得N（3，）．又B（1，0），

所以=（2，），=（2，），

又因为•=（2，）•（2，）

=4+=4+

=

==0．

所以，所以以MN为直径的圆过点B．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，点A（p，o）（p＞0），点R在y轴上运动，点T在x轴上，N为动点，且．

（I）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；

（II）设P，Q是曲线C上的两个动点，M（x0，y0）是曲线C上一定点，若，试证明直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标．

正确答案

解：（I）设N（x，y），由知R是TN的中点，

则T（-x，0），R（0，），

∵，

∴，

整理，得y2=4px（p＞0）．

故点N的轨迹曲线C的方程是y2=4px（p＞0）．

（II）设，

则，

．

由，得PM⊥QM，

∴kMP•kMQ=-1，

∴，

从而（-1）（y0+y1）（y0+y2）=16p2．

∴（y1+y2）y0+y1y2+y02+16p2=0．①

直线PQ的方程为，

即（y1+y2）y-y1y2-4px=0．

①可变为（y1+y2）（-y0）-y1y2-4p（x0+4p）=0，

∴直线PQ经过定点（x0+4p，-y0）．

解析

解：（I）设N（x，y），由知R是TN的中点，

则T（-x，0），R（0，），

∵，

∴，

整理，得y2=4px（p＞0）．

故点N的轨迹曲线C的方程是y2=4px（p＞0）．

（II）设，

则，

．

由，得PM⊥QM，

∴kMP•kMQ=-1，

∴，

从而（-1）（y0+y1）（y0+y2）=16p2．

∴（y1+y2）y0+y1y2+y02+16p2=0．①

直线PQ的方程为，

即（y1+y2）y-y1y2-4px=0．

①可变为（y1+y2）（-y0）-y1y2-4p（x0+4p）=0，

∴直线PQ经过定点（x0+4p，-y0）．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，记抛物线y=x-x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为______．

正确答案

解析

解：∵抛物线y=x-x2与x轴交于点（0，0）与（1，0），

∴根据定积分的几何意义，可得抛物线与x轴所围成的平面区域M的面积为

S=（x-x2）dx=（）=．

设抛物线与直线y=kx（k＞0）所围成的平面区域A的面积为S‘，

∵向区域M内随机抛掷一点P，点P落在区域A内的概率为，

∴=，可得S'=S=．

求出y=x-x2与y=kx的交点中，除原点外的点B坐标为（1-k，k-k2），

可得S'=[（x-x2）-kx]dx=[（1-k）x2]=（1-k）3．

因此可得（1-k）3=，解之得k=．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x2=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，=3，

（Ⅰ）若|PF|=3，求点M的坐标；

（Ⅱ）求△ABP面积的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知焦点F（0，1），准线方程为y=-1，

设P（x0，y0），由抛物线的定义可知|PF|=y0+1，解得y0=2，

∴x0=，即P（2，2）或P（-2，2），

由=3，得M（-，）或M（，）．

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得x2-4kx-4m=0，

于是△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，

即AB的中点M的坐标为（2k，2k2+m）

由=3，得（-x0，1-y0）=3（2k，2k2+m-1），

解得，由，得k2=-+，

由△＞0，k＞0得-＜m＜，

又∵|AB|=4，

点F到直线AB的距离d=，

∴S△ABP=4S△ABF=8|m-1|，

设f（m）=3m3-5m2+m+1，（），

则f‘（m）=9m2-10m+1=0，解得m1=，m2=1，

于是f（m）在（）是增函数，在（，1）上是减函数，在（1，）上是增函数，

又f（）=，

∴当m=时，f（m）取得最大值，此时k=，

∴△ABP面积的最大值为．

解析

解：（Ⅰ）由题意知焦点F（0，1），准线方程为y=-1，

设P（x0，y0），由抛物线的定义可知|PF|=y0+1，解得y0=2，

∴x0=，即P（2，2）或P（-2，2），

由=3，得M（-，）或M（，）．

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得x2-4kx-4m=0，

于是△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，

即AB的中点M的坐标为（2k，2k2+m）

由=3，得（-x0，1-y0）=3（2k，2k2+m-1），

解得，由，得k2=-+，

由△＞0，k＞0得-＜m＜，

又∵|AB|=4，

点F到直线AB的距离d=，

∴S△ABP=4S△ABF=8|m-1|，

设f（m）=3m3-5m2+m+1，（），

则f‘（m）=9m2-10m+1=0，解得m1=，m2=1，

于是f（m）在（）是增函数，在（，1）上是减函数，在（1，）上是增函数，

又f（）=，

∴当m=时，f（m）取得最大值，此时k=，

∴△ABP面积的最大值为．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3，已知椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．

（I）求圆C和椭圆D的方程；

（Ⅱ）若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．

正确答案

（I）解：①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），

由|MN|=3，得=，解得r=．

所以⊙C的方程为．

令y=0，解得x=1或4．

∴N（1，0），M（4，0）．

∴2c=2，得c=1．

②∵椭圆过点，∴．

联立，解得．

∴椭圆的方程为．

（II）设直线l的方程为y=k（x-4），

联立消去y得到（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴，．

∵kAN+kBN==

=[2x1x2-5（x1+x2）+8]

=

=0．

∴kAN=-kBN．

当x1=1或x2=1时，，此时方程（*）的△=0，不合题意，应舍去．

因此直线NA与直线NB的倾角互补．

解析

（I）解：①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），

由|MN|=3，得=，解得r=．

所以⊙C的方程为．

令y=0，解得x=1或4．

∴N（1，0），M（4，0）．

∴2c=2，得c=1．

②∵椭圆过点，∴．

联立，解得．

∴椭圆的方程为．

（II）设直线l的方程为y=k（x-4），

联立消去y得到（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴，．

∵kAN+kBN==

=[2x1x2-5（x1+x2）+8]

=

=0．

∴kAN=-kBN．

当x1=1或x2=1时，，此时方程（*）的△=0，不合题意，应舍去．

因此直线NA与直线NB的倾角互补．

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题型：简答题

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简答题

椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，且|PF1|=．

（I）求椭圆C的方程．

（II）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）∵∴

又PF1⊥F1F2，∴，，

∴2a=|PF1|+|PF2|=4则c=，∴a=2，b2=1

∴所求椭圆方程为．（6分）

（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），

由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，

故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-，

由，得A，

∴=，（9分）

用-代替上式中的k，得|BC|=，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2

∵k＜0，∴解得：k=-1或k=，故存在三个内接等腰直角三角形．（12分）

解析

解：（Ⅰ）∵∴

又PF1⊥F1F2，∴，，

∴2a=|PF1|+|PF2|=4则c=，∴a=2，b2=1

∴所求椭圆方程为．（6分）

（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），

由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，

故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-，

由，得A，

∴=，（9分）

用-代替上式中的k，得|BC|=，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2

∵k＜0，∴解得：k=-1或k=，故存在三个内接等腰直角三角形．（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知动点H到直线x-4=0的距离与到点（2，0）的距离之比为．

（Ⅰ）求动点H的轨迹E的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设动点H（x，y）（1分）

∴（3分）

∴动点H的轨迹E的方程为x2+2y2=8，（4分）

（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）且，

①当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，

与x2+2y2=8联立方程得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，

∴△=8（8k2-m2+4）＞0，

∴，（5分）

∴，（6分）

∵，

∴x1x2+y1y2=0，

∴，

∴3m2-8k2-8=0，

∴8k2=3m2-8，（7分）

∴对任意k，符合条件的m满足，

∴，即或，（8分）

∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，

∴所以圆的半径为，

∴，

∴所求的圆为，（9分）

此时该圆的切线y=kx+m都满足或，分

∴所求的圆为，（10分）

②当切线的斜率不存在时，切线，

与椭圆x2+2y2=8的两个交点为或，

满足，（11分）

综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）且．

解析

解：（Ⅰ）设动点H（x，y）（1分）

∴（3分）

∴动点H的轨迹E的方程为x2+2y2=8，（4分）

（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）且，

①当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，

与x2+2y2=8联立方程得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，

∴△=8（8k2-m2+4）＞0，

∴，（5分）

∴，（6分）

∵，

∴x1x2+y1y2=0，

∴，

∴3m2-8k2-8=0，

∴8k2=3m2-8，（7分）

∴对任意k，符合条件的m满足，

∴，即或，（8分）

∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，

∴所以圆的半径为，

∴，

∴所求的圆为，（9分）

此时该圆的切线y=kx+m都满足或，分

∴所求的圆为，（10分）

②当切线的斜率不存在时，切线，

与椭圆x2+2y2=8的两个交点为或，

满足，（11分）

综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）且．

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