- 直线与圆锥曲线
- 共2643题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）当直线l：y=x+m与椭圆C相交时，求m的取值范围；
（3）设直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若以为AB直径的圆过原点，求m的值．
正确答案
解：（1）直线x+2y-2=0与坐标轴交于两点（2，0），（0，1），
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：5x2+8mx+4m2-4=0，
∵直线l：y=x+m与椭圆C相交，
∴△=（8m）2-4×5×（4m2-4）＞0，
即-16m2+80＞0，解得-
（3）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由（2）得x1+x2=-
∵以为AB直径的圆过原点，
∴
∴
∴x1x2+y1y2=0，
∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，
即2•
解得m=±
解析
解：（1）直线x+2y-2=0与坐标轴交于两点（2，0），（0，1），
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：5x2+8mx+4m2-4=0，
∵直线l：y=x+m与椭圆C相交，
∴△=（8m）2-4×5×（4m2-4）＞0，
即-16m2+80＞0，解得-
（3）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由（2）得x1+x2=-
∵以为AB直径的圆过原点，
∴
∴
∴x1x2+y1y2=0，
∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，
即2•
解得m=±
已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若线段AB的中点的横坐标为-
（Ⅲ）在x轴上是否存在点M，使
正确答案
解：（Ⅰ）∵椭圆离心率为
又∵椭圆过点（
∴椭圆方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为k，∴直线方程为y=k（x+1），
由
∵线段AB的中点的横坐标为-
即
（Ⅲ）在x轴上存在点M
证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使
由（Ⅱ）得，
∵
∴
若上式是与K无关的常数，则6m-1=0，∴
即在x轴上存在点M（
解析
解：（Ⅰ）∵椭圆离心率为
又∵椭圆过点（
∴椭圆方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为k，∴直线方程为y=k（x+1），
由
∵线段AB的中点的横坐标为-
即
（Ⅲ）在x轴上存在点M
证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使
由（Ⅱ）得，
∵
∴
若上式是与K无关的常数，则6m-1=0，∴
即在x轴上存在点M（
已知椭圆E：
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线y=-x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足
正确答案
解（Ⅰ）由题意：
解得：a2=4，b2=1，即：椭圆E的方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以
由
得
又方程（*）要有两个不等实根，
所以m=±2．
解析
解（Ⅰ）由题意：
解得：a2=4，b2=1，即：椭圆E的方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以
由
得
又方程（*）要有两个不等实根，
所以m=±2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点E，D，求
正确答案
解：（Ⅰ）因为 A（2，0）是椭圆C的右顶点，所以a=2．
又
所以 b2=a2-c2=4-3=1．
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，|AP|=4，DE为椭圆C的短轴，则|DE|=2，所以
当直线AP的斜率不为0时，设直线AP的方程为y=k（x-2），P（x0，y0），
则直线DE的方程为
由
所以
所以 
类似可求
所以
设
∴
令
所以 
综上，
解析
解：（Ⅰ）因为 A（2，0）是椭圆C的右顶点，所以a=2．
又
所以 b2=a2-c2=4-3=1．
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，|AP|=4，DE为椭圆C的短轴，则|DE|=2，所以
当直线AP的斜率不为0时，设直线AP的方程为y=k（x-2），P（x0，y0），
则直线DE的方程为
由
所以
所以
类似可求
所以
设
∴
令
所以
综上，
已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）的距离为d2，且
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l1：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线
正确答案
解：（1）设动点为P（x，y），（1分）
依据题意，有
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，
如图所示．
联立方程组
则点A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足
又AM⊥l1、BN⊥l1，可得点M（-2，y1）、N（-2，y2）．
点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
因
于是，∠MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．（10分）
（3）依据（2）可算出
则
所以，S22=4S1S3，即存在实数λ=4使得结论成立．（15分）
对进一步思考问题的判断：正确．（18分）
解析
解：（1）设动点为P（x，y），（1分）
依据题意，有
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，
如图所示．
联立方程组
则点A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足
又AM⊥l1、BN⊥l1，可得点M（-2，y1）、N（-2，y2）．
点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
因
于是，∠MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．（10分）
（3）依据（2）可算出
则
所以，S22=4S1S3，即存在实数λ=4使得结论成立．（15分）
对进一步思考问题的判断：正确．（18分）
已知抛物线y2=x，则过P（1，1）与抛物线有且只有一个交点的直线有（ ）条．
正确答案
解析
当直线存在斜率时，设直线方程为：y-1=k（x-1），
由
当k=0时，方程为：-x+1=0，得x=1，此时只有一个交点（1，1），直线与抛物线相交；
当k≠0时，令△=（2k-1-2k2）2-4k2（k2-2k+1）=0，化简得，4k2-4k+1=0，
解得k=
综上，满足条件的直线有两条：方程为y=1，x-2y+1=0，如右图所示：
故选B．
若点A是圆x2+y2=1上任意一点，过A作该圆的切线l，则l与下列曲线一定有公共点的是（ ）
Ay2=x
B
C（x-2）2+y2=4
D
正确答案
解析
解：A．若过点（-1，0）作圆x2+y2=1的切线l：x=-1，则与y2=x无交点；
B．若过点（-1，0）作圆x2+y2=1的切线l：x=-1，则与
C．若过点（-1，0）作圆x2+y2=1的切线l：x=-1，则与（x-2）2+y2=4（0≤x≤4）无交点；
D．如图所示，圆x2+y2=1上的所有点（除了点（0，±1）在椭圆上）其余的点都在椭圆内部，因此过圆上的A作该圆的切线l，则l与椭圆一定有公共点．
综上可知：只有D满足题意．
故选D．
已知定点F1（-1，0），F2（1，0），P为圆F1：（x+1）2+y2=8上一动点，点M满足（
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设点M坐标为（x，y），求证：|MF2|=
（Ⅲ）过点F2作直线l交C于A，B两点，求
正确答案
解：（Ⅰ）∵点M满足（
∴（
即|
又
由题意知M在线段F1P上，∴|F1M|+|MP|=2
∴|F1M|+|MF2|=2
∴M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为2
∴M的轨迹C的方程为
（Ⅱ）设M（x，y），|F1M|=
又∵
∴|F1M|=
∴-2≤x≤2，
∴|MF2|=
（Ⅲ）（1）当直线l斜率不存在时，|AF2|=|BF2|=
∴
（1）当直线l斜率存在时，设直线l：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）
直线l与
韦达定理得：x1+x2=
由（Ⅱ）问结论知|AF2|=
∴
综上
解析
解：（Ⅰ）∵点M满足（
∴（
即|
又
由题意知M在线段F1P上，∴|F1M|+|MP|=2
∴|F1M|+|MF2|=2
∴M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为2
∴M的轨迹C的方程为
（Ⅱ）设M（x，y），|F1M|=
又∵
∴|F1M|=
∴-2≤x≤2，
∴|MF2|=
（Ⅲ）（1）当直线l斜率不存在时，|AF2|=|BF2|=
∴
（1）当直线l斜率存在时，设直线l：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）
直线l与
韦达定理得：x1+x2=
由（Ⅱ）问结论知|AF2|=
∴
综上
椭圆
（1）如果点A在圆x2+y2=c2（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆的离心率；
（2）若函数
正确答案
解：（1）∵点A在圆x2+y2=c2上，
∴△AF1F2为一直角三角形，
∵
由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，∴c+
∴e=
（2）∵函数
∴
点F1（-1，0），F2（1，0），
①若AB⊥x轴，则A
∴
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）
由
∵△=8k2+8＞0，∴方程（*）有两个不同的实根．
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2是方程（*）的两个根
=
∵
由①②知
解析
解：（1）∵点A在圆x2+y2=c2上，
∴△AF1F2为一直角三角形，
∵
由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，∴c+
∴e=
（2）∵函数
∴
点F1（-1，0），F2（1，0），
①若AB⊥x轴，则A
∴
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）
由
∵△=8k2+8＞0，∴方程（*）有两个不同的实根．
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2是方程（*）的两个根
=
∵
由①②知
已知△AOB的顶点A在射线
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设P（-1，0），Q（2，0），求证：∠MQP=2∠MPQ．
正确答案
（Ⅰ）解：因为A，B两点关于x轴对称，
所以AB边所在直线与y轴平行．
设M（x，y），由题意，得
所以
因为|AM|•|MB|=3，
所以
所以点M的轨迹W的方程为
（Ⅱ）证明：设M（x0，y0）（x0＞0），
因为曲线
所以只要证明“点M在x轴上方及x轴上时，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
以下给出“当y0≥0时，∠MQP=2∠MPQ”的证明过程．
因为点M在
当x0=2时，由点M在W上，得点M（2，3），
此时MQ⊥PQ，|MQ|=3，|PQ|=3，
所以
当x0≠2时，直线PM、QM的斜率分别为
因为x0≥1，x0≠2，y0≥0，所以
又tan∠MPQ=kPM，所以
所以
因为点M在W上，所以
所以tan2∠MPQ=
因为tan∠MQP=-kQM，
所以tan∠MQP=tan2∠MPQ，
在△MPQ中，因为
所以∠MQP=2∠MPQ．
综上，得当y0≥0时，∠MQP=2∠MPQ．
所以对于轨迹W的任意一点M，∠MQP=2∠MPQ成立．
解析
（Ⅰ）解：因为A，B两点关于x轴对称，
所以AB边所在直线与y轴平行．
设M（x，y），由题意，得
所以
因为|AM|•|MB|=3，
所以
所以点M的轨迹W的方程为
（Ⅱ）证明：设M（x0，y0）（x0＞0），
因为曲线
所以只要证明“点M在x轴上方及x轴上时，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
以下给出“当y0≥0时，∠MQP=2∠MPQ”的证明过程．
因为点M在
当x0=2时，由点M在W上，得点M（2，3），
此时MQ⊥PQ，|MQ|=3，|PQ|=3，
所以
当x0≠2时，直线PM、QM的斜率分别为
因为x0≥1，x0≠2，y0≥0，所以
又tan∠MPQ=kPM，所以
所以
因为点M在W上，所以
所以tan2∠MPQ=
因为tan∠MQP=-kQM，
所以tan∠MQP=tan2∠MPQ，
在△MPQ中，因为
所以∠MQP=2∠MPQ．
综上，得当y0≥0时，∠MQP=2∠MPQ．
所以对于轨迹W的任意一点M，∠MQP=2∠MPQ成立．
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