直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为双曲线的一个焦点，且两条曲线都经过点M（2，4）．

（1）求这两条曲线的标准方程；

（2）已知点P在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点P的坐标．

正确答案

解：（1）∵抛物线y2=2px（p＞0）经过点M（2，4），

∴42=2p×2，解得p=4，

∴抛物线的标准方程为y2=8x．…（3分）

∴抛物线的焦点为（2，0），

∴双曲线的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）．

法一：∴，，

∴，． …（5分）

∴．

∴双曲线的标准方程为．…（8分）

法二：a2+b2=c2=4，∵双曲线经过点M（2，4），∴，…（5分）

解得，．

∴双曲线的标准方程为．…（8分）

（2）设点P的坐标为（xp，yp），

由题意得，，

∴yP=±2，…（11分）

∵点P在抛物线上，∴，

∴点P的坐标为或．…（14分）

解析

解：（1）∵抛物线y2=2px（p＞0）经过点M（2，4），

∴42=2p×2，解得p=4，

∴抛物线的标准方程为y2=8x．…（3分）

∴抛物线的焦点为（2，0），

∴双曲线的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）．

法一：∴，，

∴，． …（5分）

∴．

∴双曲线的标准方程为．…（8分）

法二：a2+b2=c2=4，∵双曲线经过点M（2，4），∴，…（5分）

解得，．

∴双曲线的标准方程为．…（8分）

（2）设点P的坐标为（xp，yp），

由题意得，，

∴yP=±2，…（11分）

∵点P在抛物线上，∴，

∴点P的坐标为或．…（14分）

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题型：填空题

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填空题

若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-y2=1的右焦点重合，则实数p=______．

正确答案

4

解析

解：抛物线的焦点F为（，0），

双曲线-y2=1的右焦点F2（2，0），

由已知得=2，

∴p=4．

故答案为4

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题型：单选题

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单选题

设e1、e2为焦点在x轴上且具有公共焦点F1、F2的标准椭圆和标准双曲线的离心率，O为坐标原点，P是两曲线的一个公共点，且满足2=，则的值为（　　）

A2

B

C

D1

正确答案

B

解析

解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c

并设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m-n=2a2，

解得m=a1+a2，n=a1-a2，

∵2=，∴PF1⊥PF2，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2

∴（a1+a2）2+（a1-a2）2=（2c）2

化简可得a12+a22=2c2

∴+=2

∴===

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

若抛物线y2=2px（p＞0）的准线通过双曲线的一个焦点，则p=______．

正确答案

解析

解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为

的焦点坐标为

∴

故答案为

1

题型：填空题

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填空题

若椭圆和双曲线有相同焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个公共点，并且，e1，e2分别为它们的离心率，则的值是______．

正确答案

2

解析

解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上

由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m ①

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②

又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2 ③

①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④

-①2+②2得|PF1||PF2|=a2-m2⑤

将④⑤代入③得a2+m2=c2，即，即

故答案为2

1

题型：填空题

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填空题

对于曲线C：=1，给出下面四个命题：

①由线C不可能表示椭圆；

②若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；

③当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜

其中正确命题的个数为______个．

正确答案

1

解析

解：①由，可得1＜k＜4且k≠，此时曲线表示椭圆，故①不正确；

②若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，即1＜k＜4，故②不正确；

③当1＜k＜4且k≠，此时曲线表示椭圆，故③不正确；

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，此时4-k＞k-1＞0，所以1＜k＜，故④正确，

所以正确命题的个数为1个．

故答案为：1．

1

题型：单选题

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单选题

椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线二焦点连线构成三角形面积为（　　）

A4

B

C5

D3

正确答案

D

解析

解：由题意知椭圆与双曲线共焦点，焦点为F1（0，-4，），F2（0，4），

根据椭圆的定义得：PF1+PF2=10，设P在右支上，

根据双曲线的定义得：PF1-PF2=2，

∴PF1=5+，PF2=5-，

在三角形PF1F2中，又F1F2=8

由余弦定理得：

cos∠F1PF2==

P与双曲线二焦点F1F2连线构成三角形面积为S=PF1•PF2sin∠F1PF2=（5+）（5-）×=3

故选D．

1

题型：填空题

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填空题

下列关于曲线与曲线（5＜m＜9）几何性质的叙述，正确的有______．（填上你认为正确的序号）①焦距相等 ②离心率相等 ③焦点相同 ④准线相同．

正确答案

①

解析

解：曲线中，a2=10-m，b2=6-m，c2=a2-b2=4，焦点在x轴上，，准线方程为x=±=±；

曲线（5＜m＜9）中，a′2=9-m，b′2=m-5，c′2=a′2+b′2=4，焦点在y轴上，，准线方程为x=±=±

∴两曲线焦距相等，离心率、焦点坐标、准线方程均不相同

故答案为：①

1

题型：简答题

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简答题

抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．

正确答案

解：设圆的方程为（x-k）2+y2=1

再设圆与抛物线的一个交点为P（x0，y0）

在P点圆半径的斜率=．

在P点抛物线的切线斜率=

在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切，

∴．（1）

因P（x0，y0）是圆与抛物线的交点，

∴y02=2x0．（2）

（x0-k）2+y02=1．（3）

由（1）、（2）式消去y0，得x0=-k，

将（2）代入（3），得（x0-k）2+2x0-1=0，

将x0=-k代入，得4k2-2k-1=0，

∴．

由于抛物线在y轴的右方，所以k=-x0≤0

故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为．

故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直

解析

解：设圆的方程为（x-k）2+y2=1

再设圆与抛物线的一个交点为P（x0，y0）

在P点圆半径的斜率=．

在P点抛物线的切线斜率=

在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切，

∴．（1）

因P（x0，y0）是圆与抛物线的交点，

∴y02=2x0．（2）

（x0-k）2+y02=1．（3）

由（1）、（2）式消去y0，得x0=-k，

将（2）代入（3），得（x0-k）2+2x0-1=0，

将x0=-k代入，得4k2-2k-1=0，

∴．

由于抛物线在y轴的右方，所以k=-x0≤0

故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为．

故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直

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题型：简答题

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简答题

求与双曲线有公共渐近线，且过点M（2，-2）的双曲线的标准方程．

正确答案

解：设所求双曲线的方程为，

将点M（2，-2）代入得λ=-2，

所求双曲线的标准方程为

解析

解：设所求双曲线的方程为，

将点M（2，-2）代入得λ=-2，

所求双曲线的标准方程为

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正确答案

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