直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

判断方程-=1所表示的曲线．

正确答案

解：若（9-k）（2k-4）＞0，则2＜k＜9，方程表示双曲线；

若9-k＞4-2k＞0，即2＞k＞-5时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；若0＜9-k＜4-2k，即k＜-5时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；9-k=4-2k，即k=-5时，方程表示圆．

解析

解：若（9-k）（2k-4）＞0，则2＜k＜9，方程表示双曲线；

若9-k＞4-2k＞0，即2＞k＞-5时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；若0＜9-k＜4-2k，即k＜-5时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；9-k=4-2k，即k=-5时，方程表示圆．

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题型：填空题

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填空题

双曲线的离心率为______；若椭圆与双曲线C有相同的焦点，则a=______．

正确答案

2

解析

解：双曲线

∴焦点坐标为（-，0），（，0）

∴双曲线C的离心率，

∵椭圆C的焦点与双曲线C的焦点重合

∴椭圆的c=，

∴，∴a=2．

故答案为：；2．

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题型：简答题

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简答题

（2015春•德宏州校级期中）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，过点（-1，0）且斜率为1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求弦|AB|的中点坐标．

正确答案

解：（1）由题意可得：，解得b=1，

故椭圆的标准方程为：=1．

（2）由点斜式得直线方程为y=x+1，设直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，化为2x2+3x=0，

由韦达定理可得x1+x2=-．

故中点横坐标x==-，

代入直线方程可得中点纵坐标y=．

∴弦AB的中点坐标为．

解析

解：（1）由题意可得：，解得b=1，

故椭圆的标准方程为：=1．

（2）由点斜式得直线方程为y=x+1，设直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，化为2x2+3x=0，

由韦达定理可得x1+x2=-．

故中点横坐标x==-，

代入直线方程可得中点纵坐标y=．

∴弦AB的中点坐标为．

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题型：填空题

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填空题

已知a＞b＞0，e1，e2分别是圆锥曲线和的离心率，设m=lne1+lne2，则m的取值范围是______．

正确答案

（-∞，0）

解析

解：由条件得：，

则

∴0＜e1e2＜1，

所以m=lne1+lne2=lg（e1e2）＜0．

故答案为：（-∞，0）

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题型：单选题

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单选题

已知椭圆与双曲线（m，n，p，q∈R+）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共交点．则|PF1|•|PF2|的值是（　　）

Ap2-m2

Bp-m

Cm-p

Dm2-p2

正确答案

C

解析

解：由椭圆和双曲线定义

不妨设|PF1|＞|PF2|

则|PF1|+|PF2|=2

|PF1|-|PF2|=2

所以|PF1|=+

|PF2|=-

∴|pF1|•|pF2|=m-p

∵焦点相同

c2=m-n=p+q

∴m-p=n+q

所以|pF1|•|pF2|=m-p或n+q

故选C

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设点A坐标为（x0，y0）依题意可知=，x0=代入椭圆方程得（*）

根据抛物线定义可知y0=p=2=2c

∴y20=4c2，代入（*）式整理得a2-c2-2ac=0

两边除以a2得e2+2e-1=0，解得e=或--1（排除）

故选D

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题型：填空题

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填空题

过点M（2，-2p）作抛物线x2=2py（p＞0）的两条切线，切点分别为A、B，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为______．

正确答案

x2=2y或x2=4y

解析

解：设过点M的抛物线的切线方程为：y+2p=k（x-2）与抛物线的方程联立消y得：x2-2pkx+4pk+4p2=0

此方程的判别式等于0，∴pk2-4k-4p=0

设切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=

此时x=pk，∴y=

设A（x1，y1），B（x2，y2），则12=y1+y2=2（k1+k2）+4p=

∴p2-3p+2=0

∴p=1或p=2

∴所求抛物线的方程为x2=2y或x2=4y

故答案为：x2=2y或x2=4y．

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题型：单选题

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单选题

下列方程所表示的直线能与抛物线与曲线y2-x2=1（y≤-1）都相切的是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设切线方程为y=kx+b，代入抛物线方程可得，∴△1=，∴

y=kx+b，代入曲线y2-x2=1（y≤-1）可得（k2-1）x2+2kx+b2-1=0，∴△2=4k2-4（k2-1）（b2-1）=0

代入验证，对于A，k=1，b=-，此时△1=0，△2≠0；

对于B，k=，b=-，此时△1=0，△2≠0；

对于C，k=，b=-，此时△1=0，△2=0；

对于D，k=2，b=-，此时△1=0，△2≠0；

故选C．

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题型：单选题

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单选题

椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么|PF1|•|PF2|的值是（　　）

Am-a

Bm2-a2

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意，不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|-|PF2|=2a

∴|PF1|=m+a，|PF2|=m-a

∴|PF1|•|PF2|=m2-a2

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的右焦点F2与抛物线的焦点重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，，求椭圆C1的方程．

正确答案

解：∵抛物线的焦点坐标为（1，0），∴点F2的坐标为（1，0）．

∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1（-1，0），抛物线C2的准线方程为x=-1．

设点P的坐标为（x1，y1），由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1，

∵，∴，解得．

由，且y1＞0，得．

∴点P的坐标为．

在椭圆C1：中，c=1．

∴．

∴椭圆C1的方程为．

解析

解：∵抛物线的焦点坐标为（1，0），∴点F2的坐标为（1，0）．

∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1（-1，0），抛物线C2的准线方程为x=-1．

设点P的坐标为（x1，y1），由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1，

∵，∴，解得．

由，且y1＞0，得．

∴点P的坐标为．

在椭圆C1：中，c=1．

∴．

∴椭圆C1的方程为．

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