- 直线与圆锥曲线
- 共2643题
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率
,原点到过点A(-a,0),B(0,b)
的直线的距离是.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
正确答案
解:(1)因为,a2-b2=c2,所以a=2b.
因为原点到直线AB:的距离
,
解得a=4,b=2.
故所求椭圆C的方程为+
=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有.
当直线l的斜率存在时,设直线,
由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,
所以△=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①
又由可得
;
同理可得.
由原点O到直线PQ的距离为和
,
可得.②
将①代入②得,.
当时,
;
当时,
.
因,则0<1-4k2≤1,
,
所以,
当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.
综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.
解析
解:(1)因为,a2-b2=c2,所以a=2b.
因为原点到直线AB:的距离
,
解得a=4,b=2.
故所求椭圆C的方程为+
=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有.
当直线l的斜率存在时,设直线,
由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,
所以△=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①
又由可得
;
同理可得.
由原点O到直线PQ的距离为和
,
可得.②
将①代入②得,.
当时,
;
当时,
.
因,则0<1-4k2≤1,
,
所以,
当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.
综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆(a>b>0)的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T,且TF与x轴垂直,则椭圆的离心率为( )
正确答案
解析
解:由题意,设F(c,0),则,代入抛物线方程可得y=±2c
∴T(c,2c)
代入椭圆可得
∴(a2-c2)c2+4a2c2=a2(a2-c2)
∴e4-6e2+1=0
∴e2=3±2
∵0<e<1
∴e=-1
故选D.
椭圆方程为=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2),离心率e=
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l与椭圆相交于不同的两点M,N且P(2,1)为MN中点,求直线l的方程.
正确答案
解:(1)∵椭圆方程为=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2),
∴b=2.
∵e==
和
.
∴联立上述方程可以解得a=2.
∴椭圆的方程为+
=1;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,
两式相减,结合P(2,1)为MN中点,可得
∴=-
∴直线l的方程为y-1=-(x-2),即2x+3y-7=0.
解析
解:(1)∵椭圆方程为=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2),
∴b=2.
∵e==
和
.
∴联立上述方程可以解得a=2.
∴椭圆的方程为+
=1;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,
两式相减,结合P(2,1)为MN中点,可得
∴=-
∴直线l的方程为y-1=-(x-2),即2x+3y-7=0.
若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则p的值为______.
正确答案
6
解析
解:椭圆 的右焦点为(3,0),
所以抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则p=6,
故答案为:6.
已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C,一条渐近线方程为x-2y=0,且双曲线经过点A(2,1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的两个焦点分别为F1,F2,过点P(0,t)作双曲线C切线,切点为M,若△F1MF2的面积为,求实数t的值.
正确答案
解:(1)∵双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,
∴可设双曲线C的方程x2-4y2=λ,
∵双曲线经过点A(2,1),
∴8-4=λ,
∴λ=4,
∴双曲线C的方程为;
(2)双曲线C的两个焦点分别为F1(-,0),F2(
,0),∴|F1F2|=2
.
设M(x,y),则∵△F1MF2的面积为,
∴=
,
∴|y|=,
∴|x|=,
取点M(,
),则PM的方程为y=
x+t,
由,可得
,∴y′=
,
x=时,y′=
,
∴=
,
∴t=-2,
同理,根据对称性,可得t=2.
解析
解:(1)∵双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,
∴可设双曲线C的方程x2-4y2=λ,
∵双曲线经过点A(2,1),
∴8-4=λ,
∴λ=4,
∴双曲线C的方程为;
(2)双曲线C的两个焦点分别为F1(-,0),F2(
,0),∴|F1F2|=2
.
设M(x,y),则∵△F1MF2的面积为,
∴=
,
∴|y|=,
∴|x|=,
取点M(,
),则PM的方程为y=
x+t,
由,可得
,∴y′=
,
x=时,y′=
,
∴=
,
∴t=-2,
同理,根据对称性,可得t=2.
已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且短轴长为4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的焦点在y轴上,斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且,求直线l的方程.
正确答案
解:(Ⅰ)设椭圆C的长半轴长为a(a>0),短半轴长为b(b>0),
则2b=4①,②.
联立①②,解得a=4,b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴,
所以椭圆C的方程为标准方程为.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组,消去y,
得5x2+2mx+m2-16=0,
由题意,得△=(2m)2-20(m2-16)>0,
且,
因为=
,
所以,解得m=±2,
验证知△>0成立,
所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.
解析
解:(Ⅰ)设椭圆C的长半轴长为a(a>0),短半轴长为b(b>0),
则2b=4①,②.
联立①②,解得a=4,b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴,
所以椭圆C的方程为标准方程为.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组,消去y,
得5x2+2mx+m2-16=0,
由题意,得△=(2m)2-20(m2-16)>0,
且,
因为=
,
所以,解得m=±2,
验证知△>0成立,
所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.
已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于表中:
(1)求C1、C2的标准方程;
(2)请问是否存在直线l满足条件:①过C2的焦点F;②与C1交不同两点M、N,且满足⊥?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
正确答案
解:(1)设抛物线C2:y2=2px(p≠0),则有=2p(x≠0),据此验证4个点知(3,-2
)、(4,-4)在抛物线上,易求C2:y2=4x(2分)
设C1:,把点(-2,0)(
,
)代入得:
解得a=2,b=1
∴C1方程为;
(2)容易验证直线l的斜率不存在时,不满足题意;(6分)
当直线l斜率存在时,假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0),
设其方程为y=k(x-1),与C1的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)
由y=k(x-1)代入椭圆方程,消掉y,得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,(8分)
于是x1+x2=,x1x2=
①
y1y2=k(x1-1)×k(x1-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-②(10分)
由⊥
,得x1x2+y1y2=0(*),
将①、②代入(*)式,得-
=0,解得k=±2;(11分)
所以存在直线l满足条件,且l的方程为:y=2x-2或y=-2x+2.(12分).
解析
解:(1)设抛物线C2:y2=2px(p≠0),则有=2p(x≠0),据此验证4个点知(3,-2
)、(4,-4)在抛物线上,易求C2:y2=4x(2分)
设C1:,把点(-2,0)(
,
)代入得:
解得a=2,b=1
∴C1方程为;
(2)容易验证直线l的斜率不存在时,不满足题意;(6分)
当直线l斜率存在时,假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0),
设其方程为y=k(x-1),与C1的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)
由y=k(x-1)代入椭圆方程,消掉y,得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,(8分)
于是x1+x2=,x1x2=
①
y1y2=k(x1-1)×k(x1-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-②(10分)
由⊥
,得x1x2+y1y2=0(*),
将①、②代入(*)式,得-
=0,解得k=±2;(11分)
所以存在直线l满足条件,且l的方程为:y=2x-2或y=-2x+2.(12分).
已知抛物线y2=4x,直线l:y=kx+2(k>0)与抛物线C交于M、N两点,与x轴交于点A,H 为MN的中点,O为坐标原点.
(1)判断直线OH与直线2x-y-2=0是否平行,并说明理由;
(2)设点Q在x轴上,记以QM、QN为邻边的棱形面积为S1,三角形AHQ的面积为S2,的取值范围.
正确答案
解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点H(x0,y0).
联立,化为k2x2+(4k-4)x+4=0,
△>0,16(k-1)2-16k2>0,解得.
x1+x2==2x0,
∴x0=,
=
,
∴kOH=,
当,解得k=
,不满足△>0,
因此直线OH与直线2x-y-2=0不平行.
(2)由(1)可得H,
|MN|=
=
=.
∵点Q是菱形的一个顶点,∴QH⊥l.
∴.
∴直线QH的方程为=-
,
令y=0,可得x=.
∴Q.
∴|QH|==
.
∴S1=|MN|•|QH|=.
|QA|=.
∴S2=yH=
=
.
∴=
=f(k).
.
∴f′(k)=<0.
∴函数f(k)单调递减,∴,
∴0<f(k)<2.
解析
解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点H(x0,y0).
联立,化为k2x2+(4k-4)x+4=0,
△>0,16(k-1)2-16k2>0,解得.
x1+x2==2x0,
∴x0=,
=
,
∴kOH=,
当,解得k=
,不满足△>0,
因此直线OH与直线2x-y-2=0不平行.
(2)由(1)可得H,
|MN|=
=
=.
∵点Q是菱形的一个顶点,∴QH⊥l.
∴.
∴直线QH的方程为=-
,
令y=0,可得x=.
∴Q.
∴|QH|==
.
∴S1=|MN|•|QH|=.
|QA|=.
∴S2=yH=
=
.
∴=
=f(k).
.
∴f′(k)=<0.
∴函数f(k)单调递减,∴,
∴0<f(k)<2.
椭圆x2+=1的焦点到直线
x-y=0的距离为______.
正确答案
1
解析
解:椭圆x2+=1的焦点坐标为(0,±
),
∴椭圆x2+=1的焦点到直线
x-y=0的距离为d=
=1.
故答案为:1.
图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4,其大小关系为
( )
正确答案
解析
解:根据椭圆越扁离心率越大可得到0<a1<a2<1
根据双曲线开口越大离心率越大得到1<a3<a4
∴可得到a1<a2<a3<a4故选A.
扫码查看完整答案与解析