热门试卷

X 查看更多试卷
1
题型:简答题
|
简答题

已知椭圆C:(a>b>0)的离心率,原点到过点A(-a,0),B(0,b)

的直线的距离是

(1)求椭圆C的方程;

(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

正确答案

解:(1)因为,a2-b2=c2,所以a=2b.

因为原点到直线AB:的距离

解得a=4,b=2.

故所求椭圆C的方程为+=1.

(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有

当直线l的斜率存在时,设直线

消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.

因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,

所以△=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①

又由可得

同理可得

由原点O到直线PQ的距离为

可得.②

将①代入②得,

时,

时,

,则0<1-4k2≤1,

所以

当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.

综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.

解析

解:(1)因为,a2-b2=c2,所以a=2b.

因为原点到直线AB:的距离

解得a=4,b=2.

故所求椭圆C的方程为+=1.

(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有

当直线l的斜率存在时,设直线

消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.

因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,

所以△=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①

又由可得

同理可得

由原点O到直线PQ的距离为

可得.②

将①代入②得,

时,

时,

,则0<1-4k2≤1,

所以

当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.

综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.

1
题型: 单选题
|
单选题

已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆(a>b>0)的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T,且TF与x轴垂直,则椭圆的离心率为(  )

A

B

C

D-1

正确答案

D

解析

解:由题意,设F(c,0),则,代入抛物线方程可得y=±2c

∴T(c,2c)

代入椭圆可得

∴(a2-c2)c2+4a2c2=a2(a2-c2

∴e4-6e2+1=0

∴e2=3±2

∵0<e<1

∴e=-1

故选D.

1
题型:简答题
|
简答题

椭圆方程为=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2),离心率e=. 

(1)求椭圆的方程;

(2)直线l与椭圆相交于不同的两点M,N且P(2,1)为MN中点,求直线l的方程.

正确答案

解:(1)∵椭圆方程为=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2),

∴b=2.

∵e==

∴联立上述方程可以解得a=2

∴椭圆的方程为+=1;

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则

两式相减,结合P(2,1)为MN中点,可得

=-

∴直线l的方程为y-1=-(x-2),即2x+3y-7=0.

解析

解:(1)∵椭圆方程为=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2),

∴b=2.

∵e==

∴联立上述方程可以解得a=2

∴椭圆的方程为+=1;

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则

两式相减,结合P(2,1)为MN中点,可得

=-

∴直线l的方程为y-1=-(x-2),即2x+3y-7=0.

1
题型:填空题
|
填空题

若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则p的值为______

正确答案

6

解析

解:椭圆 的右焦点为(3,0),

所以抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则p=6,

故答案为:6.

1
题型:简答题
|
简答题

已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C,一条渐近线方程为x-2y=0,且双曲线经过点A(2,1).

(1)求双曲线C的方程;

(2)设双曲线C的两个焦点分别为F1,F2,过点P(0,t)作双曲线C切线,切点为M,若△F1MF2的面积为,求实数t的值.

正确答案

解:(1)∵双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,

∴可设双曲线C的方程x2-4y2=λ,

∵双曲线经过点A(2,1),

∴8-4=λ,

∴λ=4,

∴双曲线C的方程为

(2)双曲线C的两个焦点分别为F1(-,0),F2,0),∴|F1F2|=2

设M(x,y),则∵△F1MF2的面积为

=

∴|y|=

∴|x|=

取点M(),则PM的方程为y=x+t,

,可得,∴y′=

x=时,y′=

=

∴t=-2,

同理,根据对称性,可得t=2.

解析

解:(1)∵双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,

∴可设双曲线C的方程x2-4y2=λ,

∵双曲线经过点A(2,1),

∴8-4=λ,

∴λ=4,

∴双曲线C的方程为

(2)双曲线C的两个焦点分别为F1(-,0),F2,0),∴|F1F2|=2

设M(x,y),则∵△F1MF2的面积为

=

∴|y|=

∴|x|=

取点M(),则PM的方程为y=x+t,

,可得,∴y′=

x=时,y′=

=

∴t=-2,

同理,根据对称性,可得t=2.

1
题型:简答题
|
简答题

已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且短轴长为4,离心率为

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设椭圆C的焦点在y轴上,斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且,求直线l的方程.

正确答案

解:(Ⅰ)设椭圆C的长半轴长为a(a>0),短半轴长为b(b>0),

则2b=4①,②.                                              

联立①②,解得a=4,b=2.                                                      

因为椭圆C的对称轴为坐标轴,

所以椭圆C的方程为标准方程为.        

(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),

由方程组,消去y,

得5x2+2mx+m2-16=0,

由题意,得△=(2m)2-20(m2-16)>0,

因为=

所以,解得m=±2,

验证知△>0成立,

所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.

解析

解:(Ⅰ)设椭圆C的长半轴长为a(a>0),短半轴长为b(b>0),

则2b=4①,②.                                              

联立①②,解得a=4,b=2.                                                      

因为椭圆C的对称轴为坐标轴,

所以椭圆C的方程为标准方程为.        

(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),

由方程组,消去y,

得5x2+2mx+m2-16=0,

由题意,得△=(2m)2-20(m2-16)>0,

因为=

所以,解得m=±2,

验证知△>0成立,

所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.

1
题型:简答题
|
简答题

已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于表中:

(1)求C1、C2的标准方程;

(2)请问是否存在直线l满足条件:①过C2的焦点F;②与C1交不同两点M、N,且满足?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

正确答案

解:(1)设抛物线C2:y2=2px(p≠0),则有=2p(x≠0),据此验证4个点知(3,-2)、(4,-4)在抛物线上,易求C2:y2=4x(2分)

设C1,把点(-2,0)()代入得:

解得a=2,b=1

∴C1方程为

(2)容易验证直线l的斜率不存在时,不满足题意;(6分)

当直线l斜率存在时,假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0),

设其方程为y=k(x-1),与C1的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2

由y=k(x-1)代入椭圆方程,消掉y,得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,(8分)

于是x1+x2=,x1x2=

y1y2=k(x1-1)×k(x1-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-②(10分)

,得x1x2+y1y2=0(*),

将①、②代入(*)式,得-=0,解得k=±2;(11分)

所以存在直线l满足条件,且l的方程为:y=2x-2或y=-2x+2.(12分).

解析

解:(1)设抛物线C2:y2=2px(p≠0),则有=2p(x≠0),据此验证4个点知(3,-2)、(4,-4)在抛物线上,易求C2:y2=4x(2分)

设C1,把点(-2,0)()代入得:

解得a=2,b=1

∴C1方程为

(2)容易验证直线l的斜率不存在时,不满足题意;(6分)

当直线l斜率存在时,假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0),

设其方程为y=k(x-1),与C1的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2

由y=k(x-1)代入椭圆方程,消掉y,得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,(8分)

于是x1+x2=,x1x2=

y1y2=k(x1-1)×k(x1-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-②(10分)

,得x1x2+y1y2=0(*),

将①、②代入(*)式,得-=0,解得k=±2;(11分)

所以存在直线l满足条件,且l的方程为:y=2x-2或y=-2x+2.(12分).

1
题型:简答题
|
简答题

已知抛物线y2=4x,直线l:y=kx+2(k>0)与抛物线C交于M、N两点,与x轴交于点A,H 为MN的中点,O为坐标原点.

(1)判断直线OH与直线2x-y-2=0是否平行,并说明理由;

(2)设点Q在x轴上,记以QM、QN为邻边的棱形面积为S1,三角形AHQ的面积为S2的取值范围.

正确答案

解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点H(x0,y0).

联立,化为k2x2+(4k-4)x+4=0,

△>0,16(k-1)2-16k2>0,解得

x1+x2==2x0

∴x0==

∴kOH=

,解得k=,不满足△>0,

因此直线OH与直线2x-y-2=0不平行.

(2)由(1)可得H

|MN|=

=

=

∵点Q是菱形的一个顶点,∴QH⊥l.

∴直线QH的方程为=-

令y=0,可得x=

∴Q

∴|QH|==

∴S1=|MN|•|QH|=

|QA|=

∴S2=yH==

==f(k).

∴f′(k)=<0.

∴函数f(k)单调递减,∴

∴0<f(k)<2.

解析

解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点H(x0,y0).

联立,化为k2x2+(4k-4)x+4=0,

△>0,16(k-1)2-16k2>0,解得

x1+x2==2x0

∴x0==

∴kOH=

,解得k=,不满足△>0,

因此直线OH与直线2x-y-2=0不平行.

(2)由(1)可得H

|MN|=

=

=

∵点Q是菱形的一个顶点,∴QH⊥l.

∴直线QH的方程为=-

令y=0,可得x=

∴Q

∴|QH|==

∴S1=|MN|•|QH|=

|QA|=

∴S2=yH==

==f(k).

∴f′(k)=<0.

∴函数f(k)单调递减,∴

∴0<f(k)<2.

1
题型:填空题
|
填空题

椭圆x2+=1的焦点到直线x-y=0的距离为______

正确答案

1

解析

解:椭圆x2+=1的焦点坐标为(0,±),

∴椭圆x2+=1的焦点到直线x-y=0的距离为d==1.

故答案为:1.

1
题型: 单选题
|
单选题

图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4,其大小关系为

(  )

Aa1<a2<a3<a4

Ba2<a1<a3<a4

Ca1<a2<a4<a3

Da2<a1<a4<a3

正确答案

A

解析

解:根据椭圆越扁离心率越大可得到0<a1<a2<1

根据双曲线开口越大离心率越大得到1<a3<a4

∴可得到a1<a2<a3<a4故选A.

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线

扫码查看完整答案与解析

  • 上一题
  • 1/10
  • 下一题