直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AF|=2，|BF|=6，则p=______．

正确答案

3

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∵|AF|=2，|BF|=6

∴根据抛物线的定义可得x1=2-，x2=6-，

∵==

∴9（2-）=6-，

∴p=3．

故答案为：3

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，其离心率为，设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知直线l与圆x2+y2=相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）；

（Ⅲ）以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵，

∴a2=2b2，从而，

将点的坐标代入上式，得b2=1，a2=2，

∴椭圆C方程为．

（Ⅱ）因为直线l与圆相切，所以，即3m2-2k2-2=0．

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

从而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，

所以===0，

故OA⊥OB．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，

由向量加法的平行四边形法则，得，

∵，∴，

（i）当m=0时，直线l：y=kx+m过原点，点A与B关于原点对称，不合题意．

（ii）当m≠0时，点A，B不关于原点对称，则λ≠0，

设Q（x0，y0），则（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），

得，从而．

∵点Q在椭圆上，将Q的坐标代入椭圆方程中，得，

化简得4m2=λ2（1+2k2）．…①

又△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），由△＞0，得1+2k2＞m2．…②

由①、②得4m2＞λ2m2，∵m≠0，∴0＜λ2＜4．…④

因此，实数λ的取值范围是-2＜λ＜0，或0＜λ＜2．

解析

解：（Ⅰ）∵，

∴a2=2b2，从而，

将点的坐标代入上式，得b2=1，a2=2，

∴椭圆C方程为．

（Ⅱ）因为直线l与圆相切，所以，即3m2-2k2-2=0．

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

从而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，

所以===0，

故OA⊥OB．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，

由向量加法的平行四边形法则，得，

∵，∴，

（i）当m=0时，直线l：y=kx+m过原点，点A与B关于原点对称，不合题意．

（ii）当m≠0时，点A，B不关于原点对称，则λ≠0，

设Q（x0，y0），则（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），

得，从而．

∵点Q在椭圆上，将Q的坐标代入椭圆方程中，得，

化简得4m2=λ2（1+2k2）．…①

又△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），由△＞0，得1+2k2＞m2．…②

由①、②得4m2＞λ2m2，∵m≠0，∴0＜λ2＜4．…④

因此，实数λ的取值范围是-2＜λ＜0，或0＜λ＜2．

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B，则=（　　）

A8

B6

C-6

D-8

正确答案

D

解析

解：由抛物线C：y2=4x，得焦点F（1，0），

联立，得x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4．

∴y1=-2，y2=4．

不妨设A（1，-2），B（4，4）．

则．

∴=3×0-2×4=-8．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则实数m的值是______．

正确答案

1

解析

解：椭圆得

∴c1=，

∴焦点坐标为（，0）（-，0），

双曲线：的焦点必在x轴上，

则半焦距c2=

∴

则实数m=1

故答案为：1．

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题型：单选题

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单选题

方程mx2+ny2=1不可能表示的曲线为（　　）

A圆

B椭圆

C双曲线

D抛物线

正确答案

D

解析

解：∵方程mx2+ny2=1中不含有x（或y）的一次项，

∴方程mx2+ny2=1不可能表示抛物线，

故选：D．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，且E上一点到两焦点的距离之和为4．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过椭圆E的左焦点F1作直线l与椭圆E相交于A、B两点，若，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由题意知：2a=4，∴a=2．

又，∴c=1，∴b2=a2-c2=22-12=3．

∴椭圆E的方程为：；

（2）由（1）知，F1（-1，0）．

当l⊥x轴时，方程为x=-1，．

，不合题意．

当直线l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x+1）（k≠0），

联立，消去y得，（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

△=144k2+144＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则．

则|AB|=

==．

又原点O到l的距离为．

∴．

化简得：17k4+k2-18=0，即（k2-1）（17k2+18）=0．

解得：k=±1．

∴直线l的方程为y=±（x+1）．

解析

解：（1）由题意知：2a=4，∴a=2．

又，∴c=1，∴b2=a2-c2=22-12=3．

∴椭圆E的方程为：；

（2）由（1）知，F1（-1，0）．

当l⊥x轴时，方程为x=-1，．

，不合题意．

当直线l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x+1）（k≠0），

联立，消去y得，（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

△=144k2+144＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则．

则|AB|=

==．

又原点O到l的距离为．

∴．

化简得：17k4+k2-18=0，即（k2-1）（17k2+18）=0．

解得：k=±1．

∴直线l的方程为y=±（x+1）．

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题型：填空题

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填空题

若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：

①若C为椭圆，则1＜t＜4；

②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；

③曲线C不可能是圆；

④若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；

⑤若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为．

其中真命题的序号为______．（把所有正确命题的序号都填在横线上）

正确答案

②④⑤

解析

解：①若C为椭圆，则，∴1＜t＜4且t，故①不正确；

②若C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，∴t＞4或t＜1，故②正确；

③t=时，曲线C是圆，故③不正确；

④若，曲线C为椭圆，此时焦点在x轴上，且焦点坐标为，故④正确；

⑤若t＜1，曲线C为双曲线，此时焦点在x轴上，且虚半轴长为，故⑤正确．

综上真命题的序号为②④⑤

故答案为：②④⑤

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1（a＞b＞0）的离心率是，则椭圆+=1的离心率是______．

正确答案

解析

解：由题设条件可知双曲线的离心率为，

∴不妨设a=2．c=，∴b=

∴椭圆 +=1的a=2．b=

∴c=

则椭圆 +=1的离心率为e=．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

已知过点P（1，0）且倾斜角为60°的直线l与抛物线y2=4x交于A，B两点，则弦长|AB|=______．

正确答案

解析

解：设直线l的方程为：y=，代入抛物线y2=4x整理可得3x2-10x+3=0

∴x=3或x=

∴y=2或y=

∴|AB|==

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

给出下列命题：

①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是；

②双曲线与椭圆有相同的焦点；

③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x．

④椭圆的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上的动点，△PF1F2的面积的最大值为2，则m的值为2．其中真命题的序号为______．（写出所有真命题的序号）

正确答案

②③

解析

解：①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是是错误命题，因为还有一条焦点在y轴上的抛物线；

②双曲线与椭圆有相同的焦点，是正确命题，因为两个曲线的焦点都在x轴上，半焦距c相等都是；

③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，是正确命题，因为离心率为解得其渐近线方程为y=±2x，故正确．

④椭圆的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上的动点，△PF1F2的面积的最大值为2，则m的值为2是错误命题，这是因为，由解析式知，半焦距长为1，，△PF1F2的面积的最大值为2，即bc=2．可得b=2，故m=4，

综上，正确命题是②③

故答案为：②③．

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