直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

若θ是任意实数，则方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲线一定不是（　　）

A抛物线

B双曲线

C直线

D圆

正确答案

A

解析

解：方程x2+4y2sinθ=1，

当sinθ=时，曲线表示圆；

当sinθ＜0时，曲线表示双曲线；

当sinθ=0时，曲线表示直线，

θ是任意实数，方程x2+4y2sinθ=1，都不含有y的一次项，曲线不表示抛物线．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M、N两点，已知直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2（O为坐标原点）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）问是否存在直线l，使得以M、N为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）直线l与x轴垂直时，|MN|=2p，

∵△OMN的面积为2，

∴==2，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x；

（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，不满足，设正方形的第三个顶点P（0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）

设l：y=k（x-1）（k≠0），代入y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

∴x1+x2=，x1x2=1，

∴MN的中点为（，），

∴线段MN的垂直平分线为y-=-（x-1-），

∴P（0，），

∵•=0，

∴x1x2+（y1-y0）（y2-y0）=0，

∴1-4-y0•+y02=0，

由y0=代入，可得（3k4-4）（k2+1）=0，

∴k=±，

∴存在直线l：y=±（x-1）．

解析

解：（Ⅰ）直线l与x轴垂直时，|MN|=2p，

∵△OMN的面积为2，

∴==2，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x；

（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，不满足，设正方形的第三个顶点P（0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）

设l：y=k（x-1）（k≠0），代入y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

∴x1+x2=，x1x2=1，

∴MN的中点为（，），

∴线段MN的垂直平分线为y-=-（x-1-），

∴P（0，），

∵•=0，

∴x1x2+（y1-y0）（y2-y0）=0，

∴1-4-y0•+y02=0，

由y0=代入，可得（3k4-4）（k2+1）=0，

∴k=±，

∴存在直线l：y=±（x-1）．

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线x2=ay（a＞0）的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的一个焦点，则a的值为（　　）

A1

B4

C8

D16

正确答案

C

解析

解：抛物线x2=ay（a＞0）的焦点为（0，），

双曲线y2-x2=2的焦点为（0，，±2），

∵a＞0，

∴，

∴a=8，

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8．

（1）试求抛物线方程；

（2）若该抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足NF=MN，求∠NMF的大小．

正确答案

解：（1）依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=-x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．

则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

=x1++x2+

即x1++x2+=8．①

又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，

由消去y，得x2-3px+=0，

∵△=9p2-4×=8p2＞0．

∴x1+x2=3p．

将其代入①得p=2，

∴所求抛物线方程为y2=4x．

（2）根据抛物线的定义可知：N到准线的距离=d=|NF|，

∵NF=MN，

∴N作准线的垂线，垂足为G，根据定义可知：sin∠GMN=，

即∠NMG=

∵∠NMF+∠GMN=，

∴∠NMF=

故∠NMF的大小为：，

解析

解：（1）依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=-x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．

则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

=x1++x2+

即x1++x2+=8．①

又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，

由消去y，得x2-3px+=0，

∵△=9p2-4×=8p2＞0．

∴x1+x2=3p．

将其代入①得p=2，

∴所求抛物线方程为y2=4x．

（2）根据抛物线的定义可知：N到准线的距离=d=|NF|，

∵NF=MN，

∴N作准线的垂线，垂足为G，根据定义可知：sin∠GMN=，

即∠NMG=

∵∠NMF+∠GMN=，

∴∠NMF=

故∠NMF的大小为：，

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题型：填空题

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填空题

椭圆中心在原点，且经过定点（2，-3），其一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的方程为______．

正确答案

+=1

解析

解：由题意抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），设椭圆的标准方程为

则a2-b2=4①

∵椭圆经过定点（2，-3），

∴②

由①②可得a2=16，b2=12

∴椭圆的方程为+=1

故答案为：+=1

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C1的极坐标方程是ρcos（θ+）=2．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程是：是参数）．

（1）将曲线C1和曲线C2的方程转化为普通方程；

（2）若曲线C1与曲线C2相交于A、B两点，求证OA⊥OB；

（3）设直线y=kx+b与曲线C2交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0且a为常数），过弦PQ的中点M作平行于x轴的直线交曲线C2于点D，求证：△PQD的面积是定值．

正确答案

（1）解：曲线C1和曲线C2的方程转化为普通方程为；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立曲线C1和曲线C2的方程并消元得：y2-4y-16=0，

∴y1+y2=4，

∴y1y2=-16，

∴，

∴OA⊥OB．

（3）证明：，消x得ky2-4y+4b=0，

∴，

由|y1-y2|=a（a＞0且a为常数），得，

∴a2k2=16（1-kb）．

又可得PQ中点M的坐标为，

∴点D，

∴．面积是定值．

解析

（1）解：曲线C1和曲线C2的方程转化为普通方程为；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立曲线C1和曲线C2的方程并消元得：y2-4y-16=0，

∴y1+y2=4，

∴y1y2=-16，

∴，

∴OA⊥OB．

（3）证明：，消x得ky2-4y+4b=0，

∴，

由|y1-y2|=a（a＞0且a为常数），得，

∴a2k2=16（1-kb）．

又可得PQ中点M的坐标为，

∴点D，

∴．面积是定值．

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题型：单选题

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单选题

设a、b是非零实数，则方程bx2+ay2=ab及ax+by=0所表示的图形可能是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：方程bx2+ay2=ab可变形为，方程ax+by=0可变形为y=-x

∴方程ax+by=0的图象为过原点的直线，排除B

若a，b同号，则-＜0，直线过二，四象限，方程bx2+ay2=ab图象为椭圆，排除A

若a，b异号，则-＞0，直线过一，三象限，方程bx2+ay2=ab图象为双曲线，排除D

故选C

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题型：单选题

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单选题

若双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率是（　　）

A

B

C2

D

正确答案

B

解析

解：∵抛物线y2=12x的焦点是（3，0），

∴c=3，m=a2=9-3=6，

∴e=．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆+=1与双曲线-=1（m，n，p，q∈R+）有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|=______．

正确答案

m-p

解析

解：因为椭圆+=1与双曲线-=1（m，n，p，q∈R+）有共同的焦点F1、F2，

所以有：m-n=p+q；

设P在双曲线的右支上，左右焦点F1、F2：

利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2 ①

|PF1|-|PF2|=2 ②

由①②得：|PF1|=+，|PF2|=-．

∴|PF1|•|PF2|=m-p．

故答案为：m-p．

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题型：单选题

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单选题

抛物线y2=4x的焦点F是椭圆的一个焦点，且它们的交点M到F的距离为，则椭圆的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），

∴椭圆的一个焦点F（1，0），

∵它们的交点M到F的距离为，

∴xM=-1=，∴yM2=，

∴，解得，（舍）或a2=4．

∴椭圆的方程为=1，

∴椭圆的离心率e=．

故选A．

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