热门试卷

解：（1）点A代入圆C方程，得（1-m）2+（-）2=，解之得m=1．

∴圆C方程为：（x-1）2+y2=．

①当直线PF的斜率不存在时，不合题意．

②当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF：y=k（x-1）+3，即kx-y-k+3=0．

∵直线PF与圆C相切，∴C到PF的距离为=，解之得k=1或-1．

当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为-2，不合题意舍去；

当k=-1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，

∴=4，可得抛物线方程为y2=16x

（2）∵P（1，3），B（2，5），∴，

设Q（x，y），得

∴=-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12．

=-y2-2y+12=-（y+16）2+28

∵y∈R，得y=-16时的最大值等于28

因此，的取值范围为（-∞，28]．

解：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率e==，

∴e2===，即a2=2b2，

又△EGF2的周长为4，即4a=4，

∴a2=2，b2=1．

∴椭圆C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0．

设直线AB的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，

由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，得k2＜．

根据韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，

∵+=t，

∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），

x==，

y==[k（x1+x2）-4k]=，

∵点P在椭圆C上，∴16k2=t2（1+2k2），

∵|-|＜，∴|x1-x2|＜，

∴（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]＜，

∴（1+k2）[-4•]＜，

∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，

∴k2＞，

∴＜k2＜．

∵16k2=t2（1+2k2），∴t2==8-，

又＜1+2k2＜2，∴＜t2=8-＜4，

∴-2＜t＜-或＜t＜2，

∴实数t的取值范围为（-2，-）∪（，2）．

解：（1）∵，，

由c=2c1，得，即a2+b2=4（a2-b2）

可得  ，

∴C的渐近线方程为．

（2）双曲线C的伴随曲线的方程为x2+y2=1，设直线l的方程为，

由l与圆相切知即  3k2=1+k2

解得，

当时，设N1、N2的坐标分别为N1（x1，y1）、N2（x2，y2）

由得，即，

∵，，x1x2=-5．

∴|x1-x2|===．

∴，

∴；

由对称性知，当时，也有．

（3）设P（x0，y0），则Q（x0，-y0），又A（-2，0）、B（2，0），

∴直线PA的方程为…①

直线QB的方程为…②

由①②得

∵P（x0，y0）在双曲线上，

∴，∴．

因此动点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为．

解：（I）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线为x=，

由抛物线的定义可知：4=3，p=2

∴抛物线方程为y2=4x；

（II）由于抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=-1，

设直线AB：x=my+1，与y2=4x联立，消去x，整理得：

y2-4my-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-1，t），有

易知，而

==

==2k3

∴存在实数λ=2，使得k1+k2=λk3恒成立．