热门试卷

解：由椭圆C：可得a2=4，b2=3，∴=1．

∴左焦点F（-1，0）．

由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可，

设直线l的方程为my=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立化为（4+3m2）y2-6my-9=0，

∴，

∴=，

∴S△PFO===≤=，当且仅当|m|=时取等号．

此时△PFO的最大值为，直线l的方程为．

解：（I）由圆D：（x-2）2+y2=1上可得：圆心（2，0），半径r=1．

令y=0得（x-2）2=1，解得x=3或1．

∴椭圆的半焦距c=3或1，但是当c=1时，，故舍去．

∴c=3，a2=b2+c2=3+32=12．

故椭圆的方程为．

（II）设M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立化为（m2+4）y2+6my-3=0，

∴，．

∴==．

∵，∴=0．

∴x1x2+y1y2=0，∴，

∴，解得为定值．

（III）∵直线l过椭圆的右焦点F（3，0），

∴S△PMN=．

∵|FP|=4-3=1．

利用（II）可得S△PMN==

===1．

当且仅当m2+1=3，即时等号成立．故△PMN的面积存在最大值1．

解：（1）如图所示，∵四边形F1PF2P1是边长为2的正方形，∴a=2，b=c，∴4=a2=b2+c2=2b2，解得b2=2．

∴椭圆的方程为；

（2）由（1）可知B（0，2）．

设A，C，则AC的垂直平分线x=m．线段AB的中点为，，其垂直平分线的斜率为，故AB的垂直平分线的方程为，与x=m联立解得x2=6y．

（3）①直线l1，l2的斜率一个为0而另一个不存在时，不符合题意．

②直线l1，l2的斜率存在且不为0，直线l1的方程为，直线l2的方程为．

联立，化为，∴．

∵直线l1过抛物线的焦点F，

∴|MN|=y1+y2+p=3+6k2+3=6（1+k2）．同理|PQ|=．

∴S===72，当且仅当k=±1时等号成立．

故当k=±1时，此时四边形MRNQ的面积取得最小值72．

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

∵M（1，1）为AB中点，∴x1+x2=2

又∵A，B在抛物线y2=4x上，

∴，．

两式相减得：（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2）．

∴．

∴kAB=2，则直线l的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；

（2）由|AF|=3，得x1+1=3，∴x1=2，

不妨设A在第一象限，则．

∴AF所在直线方程为，整理得：．

代入y2=4x得：，．

∴．