热门试卷

解：（1）在C2的方程中令y=0可得b=1，

由=及a2-c2=b2=1，得a=，

∴a=，b=1．

（2）由（1）知，上半椭圆C1的方程为y2+2x2=2（y≥0）．

易知，直线l与x轴不重合也不垂直，

设其方程为x=my+1 （m≠0），并将其代入C1的方程，

整理得（2m2+1）y2+4my=0，

故可解得点P的坐标为（，），显然m＜0，

同理，将x=my+1 （m≠0）代入C2的方程，

整理得m2y2+y+2my=0，

得点Q的坐标为（，-），

∵AP⊥AQ，

∴•=（+1）（+1）-•=0，

即8m2+2m=0，解得m=-，符合m＜0，

故直线l的方程为4x+y-4=0．

解：（Ⅰ）由题意，椭圆的离心率为，抛物线的焦点为（0，1）．…（2分）

设椭圆C的方程为，

由题意，得：，解得，

∴椭圆C的标准方程为 ．…（5分）

（Ⅱ）解法一：椭圆C与椭圆E是相似椭圆．…（6分）

联立椭圆C和直线l的方程，，消去y，得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0，…（7分）

设A，B的横坐标分别为x1，x2，则．…（8分）

设椭圆E的方程为，…（9分）

联立方程组，消去y，得（n2+m2k2）x2+2ktm2x+m2（t2-n2）=0，

设H，K的横坐标分别为x3，x4，则．…（10分）

∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，…（11分）

∴x1+x2=x3+x4，∴=，

∵k≠0，t≠0，∴化简得m2=2n2，…（12分）

求得椭圆E的离心率，…（13分）

∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．

解法二：设椭圆E的方程为，并设A（x1，y1），B（x2，y2），H（x3，y3），K（x4，y4）．

∵A，B在椭圆C上，

∴且，两式相减并恒等变形得．…（8分）

由H，K在椭圆E上，仿前述方法可得．…（11分）

∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，∴m2=2n2，…（12分）

求得椭圆E的离心率，…（13分）

∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．

解：（1）椭圆+=1的a=5，b=3，则c=4，右准线l：x=，

离心率为e=，由题意的第二定义，可知e=，

则有|MP|+|MF|=|MP|+|MK|，

显然当M，P，K共线时，|MP|+|MK|最小，

过M作MD垂直于直线l，垂足为D，则最小值为：-2=，

即有|MP|+|MF|的最小值为；

（2）∵|MF1|+|MF|=2a=10，

∴|MF1|=10-|MF|，

则||+||=10-|MF|+|MP|=6+（|MP|-|MF|），

当点M位于M1时，|MP|-|MF|的差最小，其值为-|PF|=-

此时，||+||也得到最小值，其值为10-；

当点M位于M2时，|MP|-|MF|的差最大，其值为|PF|=

此时||+||也得到最大值，其值为10+．

解：（1）设点P（x0，y0），则，

∴，

∵，

∴，∴a=2c，

又，∴，∴，a2=4，b2=3，

∴椭圆的方程为：；

（2）当过F1的直线AB的斜率不存在时，点A（-1，）B（-1，-），则•=；

当过F1的直线AB存在斜率时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

由得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，

，，

所以•=（x1-1）（x2-1）+y1y2=

=+（k2+1）==-，

∵k2≥0，∴-3≤•＜，

综上所述，∴-3≤•≤；