- 直线与圆锥曲线
- 共2643题
直线y=x+3与曲线
正确答案
3
解析
解：当x≥0时，曲线
当x＜0时，曲线
∴曲线
在同一坐标系中作出直线y=x+3的图象，
可得直线与曲线交点个数为3个．
故答案为3
（Ⅰ）若直线l的倾斜角为
（Ⅱ）已知以线段AB为直径的圆始终与定圆
正确答案
解：（Ⅰ）由已知得直线l为y=x-1，…（1分）
代入抛物线C方程得y2-4y-4=0．…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点D的坐标为（x0，y0），
因为△=32＞0，则
所以线段AB的中点D的坐标为（3，2）．…（5分）
（Ⅱ）设直线l方程为x=ty+1，…（6分）
代入抛物线C方程得y2-4ty-4=0，…（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点D的坐标为（x0，y0），
因为△=16t2+16＞0，所以
所以
所以线段AB的中点D的坐标为（2t2+1，2t）．…（10分）
以线段AB为直径的圆的半径为
记圆
则
所以
进而
所以
解析
解：（Ⅰ）由已知得直线l为y=x-1，…（1分）
代入抛物线C方程得y2-4y-4=0．…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点D的坐标为（x0，y0），
因为△=32＞0，则
所以线段AB的中点D的坐标为（3，2）．…（5分）
（Ⅱ）设直线l方程为x=ty+1，…（6分）
代入抛物线C方程得y2-4ty-4=0，…（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点D的坐标为（x0，y0），
因为△=16t2+16＞0，所以
所以
所以线段AB的中点D的坐标为（2t2+1，2t）．…（10分）
以线段AB为直径的圆的半径为
记圆
则
所以
进而
所以
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F2是椭圆C的右焦点，与坐标轴不平行的直线l经过F2与该椭圆交于A，B两点，P是A关于x轴的对称点，证明：直线BP与x轴的交点是个定点．
正确答案
（1）解：由于椭圆的离心率为
即有a=2c，b=
又直线
则d=
解得，c=1，则a=2，b=
则椭圆方程为：
（2）证明：设与坐标轴不平行经过F2的直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程，消去y，得，（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有x1+x2=
由于P是A关于x轴的对称点，则P（x1，-y1），
设直线BP与x轴的交点为Q（m，0），
即有kBP=kBQ，
即为
化简可得，2x1x2=（m+1）（x1+x2）-2m，
即有
解得，m=4．
即有Q（4，0）．
则直线BP与x轴的交点是个定点（4，0）．
解析
（1）解：由于椭圆的离心率为
即有a=2c，b=
又直线
则d=
解得，c=1，则a=2，b=
则椭圆方程为：
（2）证明：设与坐标轴不平行经过F2的直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程，消去y，得，（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有x1+x2=
由于P是A关于x轴的对称点，则P（x1，-y1），
设直线BP与x轴的交点为Q（m，0），
即有kBP=kBQ，
即为
化简可得，2x1x2=（m+1）（x1+x2）-2m，
即有
解得，m=4．
即有Q（4，0）．
则直线BP与x轴的交点是个定点（4，0）．
双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，c2=a2+1=4-1，∴a=
∴e=
故选D．
若椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），
双曲线 x2-y2=1的焦点坐标为（ 
所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2 
即c=
所以设椭圆的方程为：
把（2，0）代入得：
则该椭圆的方程是：
故选A
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D的圆与x轴相切．
正确答案
解析
（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，
代入C的方程，并化简，得（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0，
设B（x1，y1），D（x2，y2），
则
由M（1，3）为BD的中点知，
即b2=3a2 ②
故c=
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2-y2=3a2，
A（a，0），F（2a，0），
故不妨设x1≤-a，x2≥a．
又|DF|•|BF|=17，
故5a2+4a+8=17，
解得a=1，或a=-
故
连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
∴过A、B、D三点的圆与x轴相切．
k为何值时，直线y=kx+2和椭圆x2+3y2=6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
正确答案
解：由
当△=72k2-24＞0，即 k＞
当△=72k2-24=0，即 k=
当△=72k2-48＜0，即-
解析
解：由
当△=72k2-24＞0，即 k＞
当△=72k2-24=0，即 k=
当△=72k2-48＜0，即-
过抛物线y2=4x的焦点F作直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=9，则|PQ|=______．
正确答案
11
解析
解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=-1，
∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点
∴|PQ|=x1+x2+2，
又x1+x2=9
∴|PQ|=x1+x2+2=11
故答案为：11．
在同一坐标系中，方程
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由a＞b＞0，
椭圆a2x2+b2y2=1，即 
抛物线bx2=-ay，即y2=-
分析可得，A符合，
故选A．
已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．
正确答案
解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），
∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2-b2=1，
又∵C1与C2的公共弦的长为2
∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±
∴
又∵a2-b2=1，
∴a2=9，b2=8，
∴C2的方程为
（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
∵
∴
∴（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，
设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，
由
由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=-4，
由
由韦达定理可得x3+x4=-
又∵（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，
∴16（k2+1）=
化简得16（k2+1）=
∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±
即直线l的斜率为±
解析
解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），
∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2-b2=1，
又∵C1与C2的公共弦的长为2
∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±
∴
又∵a2-b2=1，
∴a2=9，b2=8，
∴C2的方程为
（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
∵
∴
∴（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，
设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，
由
由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=-4，
由
由韦达定理可得x3+x4=-
又∵（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，
∴16（k2+1）=
化简得16（k2+1）=
∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±
即直线l的斜率为±
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