热门试卷

解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），

由其定义知，又|AF|=2，

所以p=2，y2=4x；

（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），

DE方程为x=my+n（m≠0），

把DE方程代入C，并整理得y2-4my-4n=0，△=16（m2+n）＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，

由及，得y1y2+2（y1+y2）=4，即-4n+2×4m=4，

所以n=2m-1，代入DE方程得：x=my+2m-1，即（y+2）m=x+1，

故直线DE过定点（-1，-2）．

（1）解：由离心率为e=，即=，①

椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（，1），即有+=1，②

又c2=a2-b2③

由①②③，解得a=2，b=，

故椭圆C的方程为+=1．

（2）证明：联立，消去y，得（2k2+1）x+4kmx+2m2-4=0，

则△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-4）=32k2-8m2+16＞0，又A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=-，x1x2=，

设直线MA：y=（x+2），则yP=，同理yQ=，

∵+=+，

∴+=+，即+=0，

∴（x1-4）y2+（x2-4）y2=0，∴（x1-4）（kx2+m）+（x2-4）（kx1+m）=0，

即2kx1x2+（m-4k）（x2+x1）-8m=0，

∴2k•+（m-4k）（-）-8m=0，

∴=0，故k=-m，

故直线l方程为y=kx-k，可知该直线过定点（1，0）．

解：（Ⅰ） 设椭圆M的方程为

则有

解得，

∴椭圆M的方程为

（Ⅱ）当k不存在时，直线为x=2与椭圆无交点

当k存在时，设PQ：y=k（x-2）

代入整理得：（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有

∴

∵OP⊥OQ，

∴y1y2+x1x2=0即

解得：

所求直线PQ的方程为

解：（1）由题设，得A（a，0），B（0，b），则点M（）．

因为点M在直线y=上，所以，则b=．

从而，

故椭圆的离心率e=．

（2）设C（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，D（-x0，-y0）．

由题设，直线AB的方程为，即bx+ay-ab=0．

因为点C在直线AB的上方，

所以点C到直线AB的距离=．

同理可得点D到直线AB的距离=．

因为，即，且bx0＞0，ay0＞0．

所以=．

当且仅当bx0=ay0时等号成立．

由，得．

因此，．

所以，当时，取得最大值，最大值为3-2．

解：（1）由题意知△DF1F2为等腰直角三角形，且b=c，

∴a=，

∴，

∵椭圆过点P（-1，-），代入方程，得b=1，

∴a=，故所求椭圆方程为．

（2）当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，

此圆显然过点T（0，1）．

当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx-，

由，消去y，得：（18k2+9）x2-12kx-16=0，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∵，，

∴=x1x2+（y1-1）（y2-1）

=

=

=（1+k2）•，

∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1），

综上所述，以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

解：（1）∵抛物线的准线方程是，∴，解得p=1，

抛物线E的方程是x2=2y．

（2）设直线l方程是，与x2=2y联立，消去y得，

x2-2kx-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=2k，x1x2=-1，

∵，∴x1x2+（y1-a）（y2-a）≥0，

又，，

得，对k∈R恒成立，

而2k2+1≥1，∴，解得．

解：（1）由a=3，b=，可得c==2，

PA⊥PF，可得•=-1，即为y02=-x02-x0+6，

又+=1，解得x0=或-3（舍去）；

（2）x0=0，即有y02=b2，

PA⊥PF，可得•=-1，即有y02=ac，

即为b2=ac=a2-c2，

由e=，可得e2+e-1=0，

解得e=（负的舍去）；

（3）PA⊥PF，可得P在以AF为直径的圆上，

即有圆的方程为（x+a）（x-c）+y2=0，

即有y02=（x0+a）（c-x0），

又+=1，

解方程可得，x0=-或-a（舍去），

由椭圆的第二定义可得，|PF|=（-x0）•

=a+•=-c，

而F到右准线x=的距离为-c，

故该椭圆的右准线与以F为圆心，FP为半径的圆相切．