- 直线与圆锥曲线
- 共2643题
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求|OR|+|OS|的最小值．
正确答案
解：（1）依题意，得a=2，e=
∴c=
故椭圆C的方程为
（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）
则直线MP的方程为：y-y0=
令y=0，得xR=
故xRxS=
又点M与点P在椭圆上，故x02=4（1-y02），x12=4（1-y12），
代入（**）式，得：
xRxS=
所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4，
|OR|+|OS|≥2
当且仅当|OR|=|OS|=2，取得等号．
则|OR|+|OS|的最小值为4．
解析
解：（1）依题意，得a=2，e=
∴c=
故椭圆C的方程为
（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）
则直线MP的方程为：y-y0=
令y=0，得xR=
故xRxS=
又点M与点P在椭圆上，故x02=4（1-y02），x12=4（1-y12），
代入（**）式，得：
xRxS=
所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4，
|OR|+|OS|≥2
当且仅当|OR|=|OS|=2，取得等号．
则|OR|+|OS|的最小值为4．
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点M的直线l：y=x+m交椭圆于A、B两点，试问直线MA、MB与x轴能否围成等腰三角形？
正确答案
解：（1）设椭圆方程为
又椭圆过点M（4，1），所以
故椭圆方程为
（2）将y=x+m代入
再根据△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，求得5＞m＞-5．
设直线MA，MB斜率分别为k1和k2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
∴k1+k2=
而此分式的分子等于（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）=
因此MA，MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．（14分）
解析
解：（1）设椭圆方程为
又椭圆过点M（4，1），所以
故椭圆方程为
（2）将y=x+m代入
再根据△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，求得5＞m＞-5．
设直线MA，MB斜率分别为k1和k2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
∴k1+k2=
而此分式的分子等于（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）=
因此MA，MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．（14分）
若椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），双曲线x2-y2=-1的焦点坐标为（0，±
∵椭圆
∴m=2，n2-m2=2
∴n2=m2+2=6
∴该椭圆的方程是
故选D．
若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+
A
B
C
D
正确答案
解析
解：依题意可知m=±
当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=
当m=-4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=
故选D
已知直线l：x-y-m=0经过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l与C交于 A、B两点．若|AB|=6，则p的值为（ ）
A
B
C1
D2
正确答案
解析
解：由
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2m+2p；
又直线l：x-y-m=0经过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（
∴
又|AB|=（x1+
∴p=
故选：B．
已知椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵椭圆方程为
∴椭圆焦点坐标为F（±c，0）
其中c满足：c2=2a2-2b2…①
又∵双曲线方程为
∴双曲线焦点坐标也为F（±c，0），
满足c2=a2+b2…②．
对照①②，得2a2-2b2=a2+b2，
∴a2=3b2⇒a=
可得椭圆的长半轴m=
短半轴n=
∴半焦距c=
离心率e=
即则椭圆的离心率为
故选D．
老师在黑板上画出了一条曲线，让四名同学各回答一条性质，他们回答如下：
甲：曲线的对称轴为坐标轴；乙：曲线过点（0，1）；丙：曲线的一个焦点为（3，0）；丁：曲线的一个顶点为（2，0），其中有一名同学回答是错误的．请写出此曲线的方程是______（只需写出一个方程即可）
正确答案
解析
解：若乙：曲线过点（0，1）是错误的，根据题意确定曲线是焦点在x轴上的双曲线，
设双曲线的方程为：
丙：曲线的一个焦点为（3，0）得c=3；
丁：曲线的一个顶点为（2，0）得a=2．
∵b2=c2-a2=9-4=5，
∴a2=4 b2=4，
所以所求曲线的标准方程为 
故答案为：
已知双曲线C：
正确答案
y2=-16x
解析
解：由题意，双曲线C：
∴抛物线的焦点坐标为（-4，0）
设抛物线的方程为：y2=-2px（p＞0）
∴
∴抛物线方程是 y2=-16x．
故答案为：y2=-16x．
斜率为2的直线l被双曲线
正确答案
y=2x±
解析
解：设直线l的方程为y=2x+m，与双曲线交于A，B两点．
设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
将y=2x+m代入双曲线
并整理得：16x2+20mx+5（m2+4）=0，
判别式为400m2-4×16×5（m2+4）＞0，
即为m2＞16，解得m＞4或m＜-4．
∴x1+x2=-
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=
∴|AB|2=（1+k2）（x1-x2）2=5（x1-x2）2=
解得：m=±
∴所求直线的方程为：y=2x±
故答案为：y=2x±
设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：a2＞
（Ⅱ）若
正确答案
（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得
并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2-6ky+3k2-k2a2=0 ①
∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2-4（3+k2）（3k2-k2a2）＞0，
∴
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由①，得
∵
∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2），
得y1=-2y2代入②，得
∴△OAB的面积 
把k的值代入③可得
将
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15．
解析
（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得
并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2-6ky+3k2-k2a2=0 ①
∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2-4（3+k2）（3k2-k2a2）＞0，
∴
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由①，得
∵
∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2），
得y1=-2y2代入②，得
∴△OAB的面积
把k的值代入③可得
将
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15．
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