直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　　）

A锐角三角形

BB直角三角形

C钝有三角形

D等腰三角形

正确答案

B

解析

解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不

妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2 ①

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2 ②

①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=4

又|F1F2|=4，

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，

则△F1PF2的形状是直角三角形

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

过点（0，-1）做抛物线x2=2y的切线则切点的纵坐标是______．

正确答案

1

解析

解：设切点为．

由抛物线x2=2y可得2x=2y′，可得y′=x．

∴切线的斜率k=x0=，

化为=2．

∴切点的纵坐标是=1．

故答案为：1．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心离为，点B是椭圆短轴的下端点．B到椭圆一个焦点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且|BM|=|BN|，求直线l的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0）

由=，a=得：a=，b=1

所以椭圆C的方程为．…（4分）

（Ⅱ）显然直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y=kx+．

由代入椭圆方程消去y并整理得（k2+）x2+3kx+=0．------------------（6分）

由△=9k2-5（k2+）＞0，k2＞．---------------------------------------------（7分）

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点为Q（x0，y0），

得x0=-，y0=．----------------------（9分）

由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，

所以=-，即=-．-------------------------------（11分）

化简得k=±．

因此直线l的方程为y=±x+． …（12分）

解析

解：（Ⅰ）设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0）

由=，a=得：a=，b=1

所以椭圆C的方程为．…（4分）

（Ⅱ）显然直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y=kx+．

由代入椭圆方程消去y并整理得（k2+）x2+3kx+=0．------------------（6分）

由△=9k2-5（k2+）＞0，k2＞．---------------------------------------------（7分）

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点为Q（x0，y0），

得x0=-，y0=．----------------------（9分）

由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，

所以=-，即=-．-------------------------------（11分）

化简得k=±．

因此直线l的方程为y=±x+． …（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图，已知中心在原点0、焦点在x轴上的椭圆T过点M（2，1），离心率为；抛物线C顶点在原点，对称轴为x轴且过点M．

（Ⅰ）当直线l0经过椭圆T的左焦点且平行于OM时，求直线l0的方程；（Ⅱ）若斜率为-的直线l不过点M，与抛物线C交于A、B两个不同的点，求证：直线MA，MB与X轴总围成等腰三角形．

正确答案

（Ⅰ）解：由，得，，∴a2=4b2．

设椭圆T的方程为．

将点M（2，1）代入椭圆方程得：，解得b2=2．

∴a2=8．

∴椭圆T的方程为．

则．

因此左焦点为，．

∴直线l0的方程为，

即；

（Ⅱ）证明：如图，

设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

代入M的坐标得：1=4p，解得：p=．

∴抛物线C的方程为：．

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，

则．

，∴y1+y2=-2．

=．

∴直线MA，MB与X轴总围成等腰三角形．

解析

（Ⅰ）解：由，得，，∴a2=4b2．

设椭圆T的方程为．

将点M（2，1）代入椭圆方程得：，解得b2=2．

∴a2=8．

∴椭圆T的方程为．

则．

因此左焦点为，．

∴直线l0的方程为，

即；

（Ⅱ）证明：如图，

设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

代入M的坐标得：1=4p，解得：p=．

∴抛物线C的方程为：．

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，

则．

，∴y1+y2=-2．

=．

∴直线MA，MB与X轴总围成等腰三角形．

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题型：简答题

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简答题

已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M（4，-4）．

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由已知可令所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），而点M（4，-4）在抛物线上，则16=8p，所以p=2，故所求抛物线方程为y2=4x；

（2）由（1）知F（1，0）．

若直线l垂直于x轴，则A（1，2），B（1，-2），此时|AB|=4，与题设不符；

若直线l与x轴不垂直，可令直线l的方程为y=k（x-1），再设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，消去y可得k2x2-2（k2+2）+k2=0，于是，x1x2=1，

则|AB|===8，解得k=±1，

从而，所求直线l的方程为y=±（x-1）．

解析

解：（1）由已知可令所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），而点M（4，-4）在抛物线上，则16=8p，所以p=2，故所求抛物线方程为y2=4x；

（2）由（1）知F（1，0）．

若直线l垂直于x轴，则A（1，2），B（1，-2），此时|AB|=4，与题设不符；

若直线l与x轴不垂直，可令直线l的方程为y=k（x-1），再设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，消去y可得k2x2-2（k2+2）+k2=0，于是，x1x2=1，

则|AB|===8，解得k=±1，

从而，所求直线l的方程为y=±（x-1）．

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题型：单选题

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单选题

若双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同，且渐近线方程为的双曲线的标准方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由双曲线渐近线方程可知 ①

因为抛物线的焦点为（1，0），所以c=1②

又c2=a2+b2③

联立①②③，解得a2=，b2=，

所以双曲线的方程为．

故选B．

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（　　）

A

B3

C

D4

正确答案

B

解析

解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．

∴抛物线C：y2=12x，准线为x=-3，

∴K（-3，0）

设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（-3，y0）

∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x0-（-3）=x0+3，

∴由BK2=AK2-AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，

解得x0=3．

故选B．

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题型：单选题

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单选题

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（　　）

A

B4

C2

D

正确答案

A

解析

解：由题意可得四边形ABCD的对角线互相垂直，且四个顶点在椭圆上，且a=，b=1．

四边形ABCD面积等于．

当AC和BD中，有一条直线的斜率不存在时，AC和BD的长度分别为2a和 2b，

四边形ABCD面积等于=2ab=2×1=2．

当AC和BD的斜率都存在时，设AC的方程为y=kx，BD方程为y=-x．

把y=kx代入椭圆的方程化简为（2k2+1）x2-2=0，∴xA+xC=0，．

∴AC=•|xA-xC|=•=2 ．

同理求得 BD=2，

∴=4 ===

=≥=4×=，当且仅当时，取等号．

综上可得，四边形ABCD面积的最小值等于．

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

如图，直线PO⊥平面M，垂足为O，直线PA是平面M的一条斜线，斜足为A，其中∠APO=α，过点P的动直线PB交平面M于点B，∠APB=β，则下列说法正确的是______

①若α=0°，β=90°，则动点B的轨迹是一个圆；

②若α≠0°，β=90°，则动点B的轨迹是一条直线；

③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，则动点B的轨迹是抛物线；

④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，则动点B的轨迹是椭圆；

⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，则动点B的轨迹是双曲线．

正确答案

②③

解析

解：①若α=0°，则O，A重合，β=90°，则动点B的轨迹是一个与PO垂直的平面，故①不正确；

②若α≠0°，β=90°，则动点B的轨迹是一条与PA垂直的直线，故②正确；

③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与PA平行，平面M与圆锥面的交线是抛物线，所以动点B的轨迹是抛物线，故③正确；

④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是双曲线，所以动点B的轨迹是双曲线，故④不正确；

⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是椭圆，所以动点B的轨迹是椭圆，故⑤不正确．

故答案为：②③．

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题型：简答题

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简答题

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C”是由椭圆与抛物线y2=4x中两段曲线弧合成，F1、F2为椭圆的左、右焦点，F2（1，0），A为椭圆与抛物线的一个公共点，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过F2的一条直线l，与“盾圆C”依次交于M、N、G、H四点，使得△F1MH与△F1NG的面积比为6：5？若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由y2=4x的准线为x=-1，∴，故记

又F1（-1，0），所以，

故椭圆为．…（4分）

（Ⅱ）设直线l为x=my+1（m≠0），M（xM，yM）、N（xN，yN）、G（xG，yG）、H（xH，yH）

联立，得（8m2+9）y2+16my-64=0，…（6分）

则①…（8分）

联立，得y2-4my-4=0，则②（10分）

△F1MH与△F1NG的面积比

整理得…（12分）

若，由②知N、G坐标为，其中，故N不在“盾圆C”上；

同理也不满足，故符合题意的直线l不存在．…（14分）

解析

解：（Ⅰ）由y2=4x的准线为x=-1，∴，故记

又F1（-1，0），所以，

故椭圆为．…（4分）

（Ⅱ）设直线l为x=my+1（m≠0），M（xM，yM）、N（xN，yN）、G（xG，yG）、H（xH，yH）

联立，得（8m2+9）y2+16my-64=0，…（6分）

则①…（8分）

联立，得y2-4my-4=0，则②（10分）

△F1MH与△F1NG的面积比

整理得…（12分）

若，由②知N、G坐标为，其中，故N不在“盾圆C”上；

同理也不满足，故符合题意的直线l不存在．…（14分）

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