热门试卷

解：（1）由题意得双曲线C的方程为 ．

设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2）．

由题设知 均不为零，记 ，则λ＞0且λ≠1

又A，P，B，Q四点共线，从而

于是 ，，，

从而 ①，②，

又点A、B在椭圆C上，即 ③， ④，

①×9-②×16并结合③、④得9x-8y=24，

即点Q（x，y）总在定直线9x-8y=24上．

（2）类似于（1）可得结论：在双曲线C：（a＞0，b＞0），过双曲线外一点P（m，n）的动直线l与双曲线C相交与不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足，

得出点Q在定直线b2mx-a2ny=a2b2上；

（3）该结论推广至其它椭圆上，有：

在椭圆C：（a＞0，b＞0），过椭圆外一点P（m，n）的动直线l与椭圆C相交与不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足，得出点Q在定直线b2mx+a2ny=a2b2上；

类似于（1）得：

于是 ，，，

从而 ①，②，

又点A、B在椭圆C上，即 ③， ④，

①×b2+②×a2并结合③、④得b2mx+a2ny=a2b2，

即点Q（x，y）总在定直线b2mx+a2ny=a2b2上．

（1）证明：l过点M（-p，0）与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，

设l：y=k（x+p），其中k≠0（若k=0时不合题意），

由得k•y2-2py+2p2k=0，

∴．

（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0时不合题意）．

由得ky2-2py+2pb=0．

∴，从而．

假设直线l过定点（x0，y0），则y0=kx0+b，

从而，得，即，即过定点（，0）．

②当直线l的斜率不存在，设l：x=x0，代入y2=2px得y2=2px0，，

∴，

解得，即，也过（，0）．

综上所述，当y1y2=-p时，直线l过定点（，0）．

（3）依题意直线l的斜率存在且不为零，

由（1）得点P的纵坐标为，代入l：y=k（x+p）得，即P（）．

设Q（x，y），则，消k得，

由抛物线的定义知存在直线，点，点Q到它们的距离相等．

解：（1）由题意椭圆的长轴长为4，离心率为，

∴2a=4，=，

解得a2=4，b2=1，c=．

∴椭圆的标准方程为；

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），S（-x1，-y1），R（-x2，-y2）．

①当直线PS与QR的斜率都存在时，设直线PS：y=kx，则直线QR：y=-．

联立y=kx与椭圆方程，解得=．（*）

联立y=-与椭圆方程，解得=．（**）

直线PR的斜率存在时，则直线PR为（y2-y1）x+（x1-x2）y+x2y1-x1y2=0．

∵d=1，∴=1，（***）

联立（*）（**）（***），化为a2b2=a2+b2．

即为定值．

②当直线PS与QR的斜率有一个不存在时，直线PR的斜率不存在时，经验证上式也成立．