直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，点P为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值是______．

正确答案

25

解析

解：因为椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，

所以有：m2-16=n2+9⇒m2-n2=25

设P在双曲线的右支上，左右焦点F1、F2：

利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2m ①

|PF1|-|PF2|=2n ②

由①②得：|PF1|=m+n，|PF2|=m-n．

∴|PF1|•|PF2|=m2-n2=25．

故答案为：25．

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题型：填空题

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填空题

如果椭圆C和双曲线C′具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则称椭圆C是双曲线C′的“伴生”椭圆，据此，焦点在x轴上，以y=±x为渐近线，且焦点到渐近线距离为1的双曲线的“伴生”椭圆的方程是______．

正确答案

解析

解：由题意双曲线的焦点在x轴上，可设焦点为（±c，0），又y=±x为渐近线，且焦点到渐近线距离为1

∴a=b且1=，解得c=，

∴a=b=1，故此双曲线的离心率为=

由定义知，其对应的椭圆的离心率为

又椭圆的焦点（±，0），可得a′=2，从而b′=

故椭圆的标准方程为

故答案为

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2、A为上顶点，AF1交椭圆E于另一点B，且△ABF2的周长为8，离心率e=．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M，N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过x轴上的定点，并求出定点的坐标．

正确答案

解：（1）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8，∴a=2

∵离心率e=，∴c=，

∴b=

∴椭圆E的标准方程：．

（2）设以M为中点的弦x=my+1与椭圆交于（x1，y1），（x2，y2），则

x=my+1代入可得（m2+2）y2+2my-3=0，

x1+x2=m（y1+y2）+2=

∴M（，-），

同理N（，），

∴kMN=，MN：y+=（x-），

整理得y=（x-），

∴直线MN过定点（，0）．

当直线P1Q1的斜率不存在或为零时，P1Q1、P2Q2的中点为点D及原点O，直线MN为x轴，也过此定点，

∴直线MN过定点（，0）．

解析

解：（1）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8，∴a=2

∵离心率e=，∴c=，

∴b=

∴椭圆E的标准方程：．

（2）设以M为中点的弦x=my+1与椭圆交于（x1，y1），（x2，y2），则

x=my+1代入可得（m2+2）y2+2my-3=0，

x1+x2=m（y1+y2）+2=

∴M（，-），

同理N（，），

∴kMN=，MN：y+=（x-），

整理得y=（x-），

∴直线MN过定点（，0）．

当直线P1Q1的斜率不存在或为零时，P1Q1、P2Q2的中点为点D及原点O，直线MN为x轴，也过此定点，

∴直线MN过定点（，0）．

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题型：单选题

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单选题

已知直线与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若，（），则λ=（　　）

A

B

C3

D

正确答案

C

解析

解：直线恒过定点（2，0），即为抛物线y2=8x的焦点F，∠AFx=60°

过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，再过B作AC的垂线，垂足为E，

设|BF|=m，

∵|FA|=λ|FB|，

∴|AF|=λm

∴|AC|=|AF|=λm，|BD|=|BF|=m

如图，在直角三角形ABE中，|AE|=|AC|-|BD|=（λ-1）m，|AB|=（λ+1）m，

∴cos60°==

∴=

∴λ=3

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C过点，两个焦点为F1（-1，0）、F2（1，0）．

①求椭圆C的方程；

②过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若点M的横坐标为_，且满足，求直线l的方程．

正确答案

解：①设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

∵椭圆C过点，两个焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），

∴

∴a2=4，b2=3

∴椭圆C的方程为；

②设直线l的斜率为k，则方程为y-=k（x-1），即y=kx-k+

代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+（12k-8k2）x+4k2-12k-3=0，

设B（x1，y1），则

∵，∴

∵点M的横坐标为，且满足，

∴=-1

∴k=

∴直线l的方程为x-2y+2=0．

解析

解：①设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

∵椭圆C过点，两个焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），

∴

∴a2=4，b2=3

∴椭圆C的方程为；

②设直线l的斜率为k，则方程为y-=k（x-1），即y=kx-k+

代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+（12k-8k2）x+4k2-12k-3=0，

设B（x1，y1），则

∵，∴

∵点M的横坐标为，且满足，

∴=-1

∴k=

∴直线l的方程为x-2y+2=0．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，D（1，）是椭圆C上一点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P，Q是椭圆C上异于A，B的两个动点，直线AP，AQ的斜率之积为-．

①设△APQ与△BPQ的面积分别为S1，S2，请问：是否存在常数λ（λ∈R）．得S1=λS2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；

②求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

正确答案

解：（1）由抛物线y2=4x的焦点重合，可得焦点F（1，0），∴c=1，1=a2-b2．

∵D（1，）是椭圆C上一点，∴=1．

把a2=1+b2代入上式可得：+=1，解得b2=3．

∴a2=4．

∴椭圆C的方程为；

（2）①A（-2，0），B（2，0）．

当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立，化为（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

△＞0，可得m2＜3+4k2．

x1+x2=，x1x2=．

又=-，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

∴4k2x1x2+4km（x1+x2）+4m2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，

∴（4k2+1）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4+4m2=0，

∴++4+4m2=0，

化为2k2+km-m2=0，

∴2k=m或k=-m．满足△＞0．

点A到直线PQ的距离d1=，

点B到直线PQ的距离d2=，

∴===，

把k=-m代入可得：=3．

当直线PQ的斜率不存在时，x1=x2，y2=-y1，

∴kAPkAQ==，

化为2y1=±（x1+2）．

代入椭圆方程可得，x1=-2舍去．

∴=3．

综上可得：存在常数λ=3．得S1=3S2恒成立．

②设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为，

直线AP的方程为：y=k（x+2），

直线BQ的方程为：y=-，

消去k可得：=1，即为直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

解析

解：（1）由抛物线y2=4x的焦点重合，可得焦点F（1，0），∴c=1，1=a2-b2．

∵D（1，）是椭圆C上一点，∴=1．

把a2=1+b2代入上式可得：+=1，解得b2=3．

∴a2=4．

∴椭圆C的方程为；

（2）①A（-2，0），B（2，0）．

当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立，化为（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

△＞0，可得m2＜3+4k2．

x1+x2=，x1x2=．

又=-，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

∴4k2x1x2+4km（x1+x2）+4m2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，

∴（4k2+1）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4+4m2=0，

∴++4+4m2=0，

化为2k2+km-m2=0，

∴2k=m或k=-m．满足△＞0．

点A到直线PQ的距离d1=，

点B到直线PQ的距离d2=，

∴===，

把k=-m代入可得：=3．

当直线PQ的斜率不存在时，x1=x2，y2=-y1，

∴kAPkAQ==，

化为2y1=±（x1+2）．

代入椭圆方程可得，x1=-2舍去．

∴=3．

综上可得：存在常数λ=3．得S1=3S2恒成立．

②设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为，

直线AP的方程为：y=k（x+2），

直线BQ的方程为：y=-，

消去k可得：=1，即为直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

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题型：简答题

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简答题

已知点A（1，2）在抛物线Γ：y2=2px上．

（1）若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，求的值；

（2）若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求的值．

正确答案

解：（1）∵点A（1，2）在抛物线Γ：y2=2px上，∴22=2p×1，解得p=2．

∴抛物线Γ的方程为：y2=4x．

设B，C．

∴=，=，k3==．

∴=-+=1．

（2）设D，

则=+-=0．

解析

解：（1）∵点A（1，2）在抛物线Γ：y2=2px上，∴22=2p×1，解得p=2．

∴抛物线Γ的方程为：y2=4x．

设B，C．

∴=，=，k3==．

∴=-+=1．

（2）设D，

则=+-=0．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知曲线C1：x2+y2=1（|x|＜1），C2：x2=8y+1（|x|≥1），动直线l与C1相切，与C2相交于A，B两点，曲线C2在A，B处的切线相交于点M．

（1）当MA⊥MB时，求直线l的方程；

（2）试问在y轴上是否存在两个定点T1，T2，当直线MT1，MT2斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在，求出满足的T1，T2点坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设半圆C1上的切点P（x0，y0），直线lAB：x0x+y0y=1，A（x1，y1），B（x2，y2），则

代入C2：x2=8y+1，消去y可得y0x2+8x0x-y0-8=0得：x1x2=．

MA⊥MB时，yAyB=x1x2=•=-1，得y0=，

又x02+y02=1，求得：x0=±，

∴所求的直线方程为：±x+8y-15=0．

（2）曲线C2在A，B处的切线分别为：y=x1x-x12-，y=x2x-x22-，

两直线的交点M（，（x1x2-1）），即M（-，--），

设M（x，y），则由求得：，代入x02+y02=1，化得x2=16y2+8y-15，

设T1（0，t1），T2（0，t2），则

kMP•kMQ==•为定值，

必须t1+t2=-，t1t2=-，解得：或，不妨取T1（0，-），T2（0，）．

解析

解：（1）设半圆C1上的切点P（x0，y0），直线lAB：x0x+y0y=1，A（x1，y1），B（x2，y2），则

代入C2：x2=8y+1，消去y可得y0x2+8x0x-y0-8=0得：x1x2=．

MA⊥MB时，yAyB=x1x2=•=-1，得y0=，

又x02+y02=1，求得：x0=±，

∴所求的直线方程为：±x+8y-15=0．

（2）曲线C2在A，B处的切线分别为：y=x1x-x12-，y=x2x-x22-，

两直线的交点M（，（x1x2-1）），即M（-，--），

设M（x，y），则由求得：，代入x02+y02=1，化得x2=16y2+8y-15，

设T1（0，t1），T2（0，t2），则

kMP•kMQ==•为定值，

必须t1+t2=-，t1t2=-，解得：或，不妨取T1（0，-），T2（0，）．

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题型：填空题

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填空题

抛物线y2=16x的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：抛物线y2=16x的准线为 x=-4，故有 16=a2+8，

∴a=2 ，

∴==，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆C的右焦点的动直线l与椭圆C相交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若线段AB中点的横坐标为，求直线l的方程；

（3）若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦AB的中点为P，试求的取值范围．

正确答案

解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，∴，解得a2=4，b2=3，c=1．

∴椭圆方程为．

（2）设过椭圆C的右焦点的动直线l的方程为y=k（x-1），

联立化为（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则，．

∵AB中点的横坐标为，∴，解得k=．

∴直线l的方程．

（3）由（2）知AB的中点为P，

直线PD的方程为，由y=0，得，

则D，∴=．

又||===．

∴===

又∵k2+1＞1，∴．∴．

∴的取值范围是．

解析

解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，∴，解得a2=4，b2=3，c=1．

∴椭圆方程为．

（2）设过椭圆C的右焦点的动直线l的方程为y=k（x-1），

联立化为（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则，．

∵AB中点的横坐标为，∴，解得k=．

∴直线l的方程．

（3）由（2）知AB的中点为P，

直线PD的方程为，由y=0，得，

则D，∴=．

又||===．

∴===

又∵k2+1＞1，∴．∴．

∴的取值范围是．

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