直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．

设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．

由得x=±1．

所以|AB|=．

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．

所以h=，S△ABC=|•h=2．

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，

由得4x2+6mx+3m2-4=0．

因为A，B在椭圆上，

所以△=-12m2+64＞0．

设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1+x2=-，x1x2=，

所以|AB|=．

又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=．

所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11．

所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）

此时AB所在直线的方程为y=x-1．

解析

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．

设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．

由得x=±1．

所以|AB|=．

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．

所以h=，S△ABC=|•h=2．

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，

由得4x2+6mx+3m2-4=0．

因为A，B在椭圆上，

所以△=-12m2+64＞0．

设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1+x2=-，x1x2=，

所以|AB|=．

又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=．

所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11．

所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）

此时AB所在直线的方程为y=x-1．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等．

（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．

正确答案

（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），

由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，

∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；

（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），

由，消去x得：ky2-4y+4b=0．

∵直线l与抛物线相切，∴△=16-16kb=0，即．

∴直线l的方程为y=kx+．

令x=-1，得，

∴Q（-1，），

设切点坐标P（x0，y0），则，

解得：P（），

设M（m，0），

则

=

=．

当m=1时，．

∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．

解析

（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），

由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，

∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；

（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），

由，消去x得：ky2-4y+4b=0．

∵直线l与抛物线相切，∴△=16-16kb=0，即．

∴直线l的方程为y=kx+．

令x=-1，得，

∴Q（-1，），

设切点坐标P（x0，y0），则，

解得：P（），

设M（m，0），

则

=

=．

当m=1时，．

∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点．

（Ⅰ）如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2丄MF1，求点M到y轴的距离；

（Ⅱ）如图②，直线l：y=kx+m与椭圆C上相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由a2=2，b2=1，所以c2=a2-b2=1，所以c=1，则F1（-1，0），F2（1，0）

设M（x0，y0），则MF1的中点为，

，．

∵MF1⊥NF2，∴，即，

∴ （1）

又有（2）

由（1）、（2）解得或（舍去）

所以点M 到y轴的距离为．

（Ⅱ）设P（x1，y1）Q（x2，y2），

∵OPRQ为平行四边形，∴x1+x2=xR，y1+y2=yR．

∵R点在椭圆上，∴，即，

即，

化简得，（3）．

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

由△＞0，得2k2+1＞m2 （4），

且．

代入（3）式，得，

化简得4m2=1+2k2，代入（4）式，得m≠0．

又4m2=1+2k2≥1，解得或．

解析

解：（Ⅰ）由a2=2，b2=1，所以c2=a2-b2=1，所以c=1，则F1（-1，0），F2（1，0）

设M（x0，y0），则MF1的中点为，

，．

∵MF1⊥NF2，∴，即，

∴ （1）

又有（2）

由（1）、（2）解得或（舍去）

所以点M 到y轴的距离为．

（Ⅱ）设P（x1，y1）Q（x2，y2），

∵OPRQ为平行四边形，∴x1+x2=xR，y1+y2=yR．

∵R点在椭圆上，∴，即，

即，

化简得，（3）．

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

由△＞0，得2k2+1＞m2 （4），

且．

代入（3）式，得，

化简得4m2=1+2k2，代入（4）式，得m≠0．

又4m2=1+2k2≥1，解得或．

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题型：填空题

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填空题

如图，直线l与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别交于M、N两点，与双曲线C的右准线交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|，设|NP|=λ|PM|（λ∈r），则实数λ的取值为______．

正确答案

解析

解：设M、N到右准线的距离分别为d1、d2，e为离心率

∵与同向，∴λ=====

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．

正确答案

解：（Ⅰ）由右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为，得，解得c=1，

又e=，所以a=2，b2=a2-c2=3，

所以椭圆C的方程为；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：

（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，

因此，，

所以AB中点M（，），

又M在直线l1上，得3×+=0，

因为m≠0，所以k=1，故，，

所以|AB|==•=，

原点O到AB的距离为d=，

得到S=≤，当且仅当m2=取到等号，检验△＞0成立．

所以△OAB的面积S的最大值为．

解析

解：（Ⅰ）由右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为，得，解得c=1，

又e=，所以a=2，b2=a2-c2=3，

所以椭圆C的方程为；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：

（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，

因此，，

所以AB中点M（，），

又M在直线l1上，得3×+=0，

因为m≠0，所以k=1，故，，

所以|AB|==•=，

原点O到AB的距离为d=，

得到S=≤，当且仅当m2=取到等号，检验△＞0成立．

所以△OAB的面积S的最大值为．

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题型：单选题

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单选题

已知直线l：y=ax+1-a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2|x-1|；②y=x2；③（x-1）2+（y-1）2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有（　　）

A①④

B②③

C②④

D②③④

正确答案

D

解析

解：①由直线y=ax+1-a，可知此直线过点A（1，1），y=-2|x-1|=，

如图所示，直线l与函数y=-2|x-1|的图象只能由一个交点，故不是“绝对函数”；

②y=x2与l：y=ax+1-a联立解得或，

此两个交点的距离=|a|，化为（a-2）2（1+a2）-a2=0，

令f（a）=（a-2）2（1+a2）-a2，则f（1）=2-1=1＞0，f（2）=0-4＜0，因此函数f（a）在区间（1，2）内存在零点，即方程（a-2）2（1+a2）-a2=0，有解．

故此函数是“绝对函数”；

③（x-1）2+（y-1）2=1是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，此时直线l总会与此圆由两个交点，且两个交点的距离是圆的直径2，∴存在a=±2满足条件，故此函数是“绝对函数”；

④把直线y=ax+1-a代入x2+3y2=4得（3a2+1）x2+6a（1-a）x+3（1-a）2-4=0，

∴，．

若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则=，

化为，

令f（a）=，而f（1）=，f（3）=．

∴函数f（a）在区间（1，3）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，而直线l过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时，直线满足条件，即此函数是“绝对函数”．

综上可知：能满足题意的曲线有②③④．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0；

∵e==①，

|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6②，

a2-b2=c2③；

解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为；…4分

（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，

与椭圆的方程联立，得，

消去x，得

（3m2+4）y2+24my+36=0，

∴△=（24m）2-4×36（3m2+4）=144（m2-4）＞0，

即m2＞4； …6分

设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，-y1），

由根与系数的关系，得；

直线RQ1的斜率为k==，且Q1（x1，y1），

∴直线RQ1的方程为y+y1=（x-x1）；

令y=0，得x===，

将①②代人上式得x=1；…9分

又S△TRQ=|ST|•|y1-y2|=

=18×

=18×≤，

当3=，即m2=时取得“=”；

∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．

解析

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0；

∵e==①，

|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6②，

a2-b2=c2③；

解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为；…4分

（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，

与椭圆的方程联立，得，

消去x，得

（3m2+4）y2+24my+36=0，

∴△=（24m）2-4×36（3m2+4）=144（m2-4）＞0，

即m2＞4； …6分

设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，-y1），

由根与系数的关系，得；

直线RQ1的斜率为k==，且Q1（x1，y1），

∴直线RQ1的方程为y+y1=（x-x1）；

令y=0，得x===，

将①②代人上式得x=1；…9分

又S△TRQ=|ST|•|y1-y2|=

=18×

=18×≤，

当3=，即m2=时取得“=”；

∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．

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题型：单选题

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单选题

点P是抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=-1的距离是4，则P到抛物线y2=4x的焦点的距离是（　　）

A4

B3

C2

D1

正确答案

A

解析

解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1

∵点P到直线x=-1的距离是4，

∴由抛物线的定义，可得P到抛物线y2=4x的焦点的距离是4

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：上有两点P和Q．P、Q在X轴上射影分别是椭圆的左右焦点F1，F2且P、Q连线斜率为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若以PQ为直径的圆与直线x+y+6=0相切，求椭圆C方程．

正确答案

解：（1）设点（-c，-y0），Q（c，y0），其中y0＞0，

∵点P在椭圆C上，∴，，∴

∴，∴．∴

从而，解得（舍去）．

（2）由（1）知，，∴

∴以PQ为直径的圆的方程为．

∵该圆与直线x+y+6=0相切，∴，∴b2=12，a2=24

∴椭圆的标准方程为．

解析

解：（1）设点（-c，-y0），Q（c，y0），其中y0＞0，

∵点P在椭圆C上，∴，，∴

∴，∴．∴

从而，解得（舍去）．

（2）由（1）知，，∴

∴以PQ为直径的圆的方程为．

∵该圆与直线x+y+6=0相切，∴，∴b2=12，a2=24

∴椭圆的标准方程为．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=-1

（Ⅰ）求抛物线C的方程．

（Ⅱ）若直线经过抛物线C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，求直线AB的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）∵抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=-1，

∴可设抛物线C的方程为：y2=2px（p＞0），

由直线方程可得，解得p=2，

∴抛物线C的方程为：y2=4x．

（Ⅱ）由（1）可知抛物线C的焦点坐标为（1，0），

设直线AB的方程为：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

∴，解得，

所求直线AB的方程为：．

解析

解：（Ⅰ）∵抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=-1，

∴可设抛物线C的方程为：y2=2px（p＞0），

由直线方程可得，解得p=2，

∴抛物线C的方程为：y2=4x．

（Ⅱ）由（1）可知抛物线C的焦点坐标为（1，0），

设直线AB的方程为：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

∴，解得，

所求直线AB的方程为：．

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