直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3．

（Ⅰ）求抛物线C1的方程；

（Ⅱ）过点P（0，-2）的直线交抛物线C1于A，B两点，设抛物线C1在点A，B处的切线交于点M，

（ⅰ）求点M的轨迹C2的方程；

（ⅱ）若点Q为（ⅰ）中曲线C2上的动点，当直线AQ，BQ，PQ的斜率kAQ，kBQ，kPQ均存在时，试判断是否为常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得，则p=2，…（3分）

所以抛物线C1的方程为x2=4y． …（5分）

（Ⅱ）（ⅰ）设过点P（0，-2）的直线方程为y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得x2-4kx+8=0．

由△＞0，得或，x1+x2=4k，x1x2=8．…（7分）

抛物线C1在点A，B处的切线方程分别为，，

即，，

由得

所以点M的轨迹C2的方程为或）．…（10分）

（ⅱ）设Q（m，2）（），

则，．…（11分）

所以=…（12分）

==

====2，

即为常数2．　 …（15分）

解析

解：（Ⅰ）由题意得，则p=2，…（3分）

所以抛物线C1的方程为x2=4y． …（5分）

（Ⅱ）（ⅰ）设过点P（0，-2）的直线方程为y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得x2-4kx+8=0．

由△＞0，得或，x1+x2=4k，x1x2=8．…（7分）

抛物线C1在点A，B处的切线方程分别为，，

即，，

由得

所以点M的轨迹C2的方程为或）．…（10分）

（ⅱ）设Q（m，2）（），

则，．…（11分）

所以=…（12分）

==

====2，

即为常数2．　 …（15分）

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题型：填空题

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填空题

若P是极坐标方程为的直线与参数方程为（θ为参数，且θ∈R）的曲线的交点，则P点的直角坐标为 ______．

正确答案

（0，0）

解析

解：依题意可知直线的方程为，曲线的方程为，

联立解方程组得，或，

∵-2≤x≤2

∴舍去，

故P点的直角坐标为P（0，0）．

故答案为：（0，0）

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题型：单选题

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单选题

直线x+（2m-1）y=m-5与双曲线x2-y2=1的位置关系是（　　）

A相交

B相切

C相离

D与m的值有关

正确答案

A

解析

解：由x+（2m-1）y=m-5，得x-y+5+m（2y-1）=0．

联立，解得．

∴直线x+（2m-1）y=m-5恒过定点．

∵．

∴点在双曲线x2-y2=1的内部．

∴直线x+（2m-1）y=m-5与双曲线x2-y2=1的位置关系是相交．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，

所以a2=4b2，

又因为M（4，1）在椭圆上，所以，两式联立解得b2=5，a2=20，

故椭圆方程为；

（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，

△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，解得-5＜m＜5；

（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，．

．

分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）

=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）

=．

所以直线MA、MB的斜率互为相反数．

解析

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，

所以a2=4b2，

又因为M（4，1）在椭圆上，所以，两式联立解得b2=5，a2=20，

故椭圆方程为；

（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，

△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，解得-5＜m＜5；

（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，．

．

分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）

=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）

=．

所以直线MA、MB的斜率互为相反数．

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题型：简答题

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简答题

已知F1，F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过左焦点F1的斜率为1直线l与椭圆C交于A、B两点，求AB的长．

正确答案

解：（1）由题意可知：．

又M在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，

∴．

联立，解得．

∴椭圆C的方程为；

（2）由（1）知，左焦点．

则过左焦点F1的斜率为1直线l的方程为．

联立，得，．

∴|AB|==．

解析

解：（1）由题意可知：．

又M在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，

∴．

联立，解得．

∴椭圆C的方程为；

（2）由（1）知，左焦点．

则过左焦点F1的斜率为1直线l的方程为．

联立，得，．

∴|AB|==．

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题型：填空题

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填空题

以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

②平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆

③若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜

④双曲线有相同的焦点．

其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号）

正确答案

③、④

解析

解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．

②不正确，若平面内到两定点距离之和等于常数，常数为两个点的距离的轨迹是两点的垂直平方线，而不是椭圆；

③正确，若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜；

④正确，双曲线有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；

故答案为：③、④

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为（　　）

A

B

C5

D4

正确答案

C

解析

解：抛物线的焦点坐标为（0，1），

∴过抛物线焦点F且斜率为的直线l的方程为y=x+1，代入抛物线，

得x2-2x-4=0，

设两个交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）

∴x1+x2=2，∴y1+y2=3

根据抛物线的定义可知|AB|=y1++y2+=y1+y2+p=3+2=5

故选C．

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题型：简答题

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简答题

双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为，右焦点为F（c，0）（c＞0），直线l：与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若=0，求直线PQ的方程．

正确答案

解．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为=1（a＞0，b＞0）

由已知解得a=，c=3

所以双曲线的方程：=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），

当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x=3．此时，≠0，应舍去．

当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k（x-3）．

由方程组得（k2-2）x2-6k2x+9k2+6=0

由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则k2-2≠0，即k≠，

由于△=36k4-4（k2-2）（9k2+6）=48（k2+1）＞0得k∈R．

∴k∈R且k≠（*）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

由直线PQ的方程得y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）

于是y1y2=k2（x1-3）（x2-3）=k2[x1x2-3（x1+x2）+9]（3）

∵=0，

∴（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=0

即x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0（4）

由（1）、（2）、（3）、（4）得=0

整理得k2=，

∴k=满足（*）

∴直线PQ的方程为x--3=0或x+-3=0

解析

解．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为=1（a＞0，b＞0）

由已知解得a=，c=3

所以双曲线的方程：=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），

当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x=3．此时，≠0，应舍去．

当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k（x-3）．

由方程组得（k2-2）x2-6k2x+9k2+6=0

由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则k2-2≠0，即k≠，

由于△=36k4-4（k2-2）（9k2+6）=48（k2+1）＞0得k∈R．

∴k∈R且k≠（*）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

由直线PQ的方程得y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）

于是y1y2=k2（x1-3）（x2-3）=k2[x1x2-3（x1+x2）+9]（3）

∵=0，

∴（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=0

即x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0（4）

由（1）、（2）、（3）、（4）得=0

整理得k2=，

∴k=满足（*）

∴直线PQ的方程为x--3=0或x+-3=0

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题型：单选题

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单选题

过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）则x1x2=（　　）

A-2

B

C-4

D

正确答案

D

解析

解：∵抛物线y=2x2，

∴抛物线的标准方程是，它的焦点F（0，），

设过焦点F（0，）的直线是，

由，得，

∵直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），

∴．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．

（1）求证：OA⊥OB；

（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．

正确答案

解：（1）由方程y2=-x，y=k（x+1）

消去x后，整理得

ky2+y-k=0．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=-1．

∵A、B在抛物线y2=-x上，

∴y12=-x1，y22=-x2，y12•y22=x1x2．

∵kOA•kOB=•===-1，

∴OA⊥OB．

（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，

∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）．

∵S△OAB=S△OAN+S△OBN

=|ON||y1|+|ON||y2|

=|ON|•|y1-y2|，

∴S△OAB=•1•

=．

∵S△OAB=，

∴=．解得k=±．

解析

解：（1）由方程y2=-x，y=k（x+1）

消去x后，整理得

ky2+y-k=0．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=-1．

∵A、B在抛物线y2=-x上，

∴y12=-x1，y22=-x2，y12•y22=x1x2．

∵kOA•kOB=•===-1，

∴OA⊥OB．

（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，

∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）．

∵S△OAB=S△OAN+S△OBN

=|ON||y1|+|ON||y2|

=|ON|•|y1-y2|，

∴S△OAB=•1•

=．

∵S△OAB=，

∴=．解得k=±．

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