热门试卷

解：（1）易知双曲线的焦点为（-2，0），（2，0），离心率为，

则在椭圆C中a=2，e=，故在椭圆C中c=，b=1，∴椭圆C的方程为．

（2）①设M（x0，y0）（x0≠±2），由题易知A（-2，0），B（2，0），则kMA=，kMB=，

∴kMA•kMB==，

∵点M在椭圆C上，∴，即=-，故kMA•kMB=，即直线MA，MB的斜率之积为定值．    

②设P（4，y1），Q（4，y2），则kMA=kPA=，kMB=kBQ=，

由①得，即y1y2=-3，当y1＞0，y2＜0时，|PQ|=|y1-y2|≥2=2，当且仅当y1=，y2=-时等号成立．

同理，当y1＜0，y2＞0时，当且仅当y1=-，y2=时，|PQ|有最小值2．

解：（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1）．

将其代入，整理得 （4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），所以．

故点G的横坐标为．

依题意，得，解得．

（Ⅱ）假设存在直线AB，使得 S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．

由（Ⅰ）可得 ．

因为DG⊥AB，所以 ，

解得，即 ．

因为△GFD∽△OED，所以S1=S2，所以|GD|=|OD|．

所以，

整理得8k2+9=0．

因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S1=S2．

解：（1）抛物线x2=4y的焦点（0，1），

设直线AB的方程是y=kx+1，

联立，整理得x2-4kx-4=0，

∴x1+x2=4k，

由抛物线定义得：|AB|=y1+y2+2=k（x1+x2）+4=8，

∴k2=1，k=±1．

∵k＞0，∴k=1，直线方程为：y=x+1．

（2）设与直线l平行的直线方程为y=x+m，

由题意可知当该直线与抛物线相切时，该切点到直线l的距离最大，

，令，解得x=2．

∴点C（2，1），点C到直线AB距离，

．

解：（1）p=2，得椭圆的长半轴a=2，

∵，

∴．

代入抛物线求得，

∴椭圆C2方程为．

（2）（I）设直线l的方程为：x=my+2，

由，得y2-4my-8=0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

∴y1+y2=4m，y1y2=-8，

∴x1x2=4，

∴，

∴∠COD＞90°，

又∵∠EOF=∠COD，

∴∠EOF＞90°，

∴O点在以EF为直径的圆的内部．

（II），

直线OC的斜率为，

∴直线OC的方程为．

由，

得，

∴，

∴，

∵m∈R，∴，

∴不存在直线l使得S2=3S1．

解：（1）由题意可得：，，b=1，∴r==2．

∴椭圆C的方程为，其“准圆”的方程为x2+y2=4；

（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令x=0，解得y=±2，取P（0，2），

设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为m（y-2）=x，

联立，消去x得到关于y的一元二次方程（3+m2）y2-4m2y+4m2-3=0，

∴△=16m4-4（3+m2）（4m2-3）=0，解得m=±1，

故直线l1、l2的方程分别为：y=x+2，y=-x+2．

（3）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．

设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．

∴=（x0-2，y0）•（x0-2，-y0）=，

∵点B在椭圆上，∴，∴，

∴==，

∵，

∴，

∴，即的取值范围为

解：（I）∵双曲线C：的离心率为，且．

∴，解得

∴双曲线C的方程为；

（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（s，t），则，=1．

由，，

两式相减得=0，∴

又线段AB的中点在圆x2+y2=5上，∴s2+t2=5，联立解得，或．

又中点M在直线x-y+m=0上，∴1-2+m=0或-1-（-2）+m=0，

解得m=1或-1．