直线与圆锥曲线_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

已知点（4，2）是直线l被椭圆+=1所截的线段的中点，则直线l的方程是（　　）

Ax-2y=0

Bx+2y-4=0

C2x+3y+4=0

Dx+2y-8=0

正确答案

D

解析

解：设直线l与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．

代入椭圆方程可得，，

两式相减得，

∵x1+x2=2×4=8，y1+y2=2×2=4，，

∴，解得kl=．

∴直线l的方程是，

即x+2y-8=0．

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

如图所示，从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，垂足为焦点F1，若椭圆长轴一个端点为A，短轴一个端点为B，且OM∥AB．

（1）求椭圆离心率e；

（2）若F2为椭圆的右焦点，直线PQ过F2交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥AB，当S=20时，求椭圆方程．

正确答案

解：（1）设M（-c，y），A（a，0），B（0，b），

则有．解得．

∵AB∥OM，∴kAB=kOM，

∴-=，得b=c，则a=b=c，

∴e=；

（2）∵kAB=-，kAB=-，∴kPQ=．

设lPQ：y=（x-c）=（x-b），则x=+b，①

椭圆方程，即x2+2y2=2b2，②

把①代入②得：y2+by-b2=0，

△=2b2+10b2=12b2，

∴|yQ-yP|==b．

又=|yQ-yP|•|F1F2|=•b•2b=b2=20，

∴b2=25，则a2=50．

∴椭圆方程为．

解析

解：（1）设M（-c，y），A（a，0），B（0，b），

则有．解得．

∵AB∥OM，∴kAB=kOM，

∴-=，得b=c，则a=b=c，

∴e=；

（2）∵kAB=-，kAB=-，∴kPQ=．

设lPQ：y=（x-c）=（x-b），则x=+b，①

椭圆方程，即x2+2y2=2b2，②

把①代入②得：y2+by-b2=0，

△=2b2+10b2=12b2，

∴|yQ-yP|==b．

又=|yQ-yP|•|F1F2|=•b•2b=b2=20，

∴b2=25，则a2=50．

∴椭圆方程为．

1

题型：简答题

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简答题

设双曲线C：-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q．

（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且•=1，求点T的坐标；

（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

（3）过点F（1，0）作直线l与（2）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设=λ•，若λ∈[-2，-1]，求|+|（T为（1）中的点）的取值范围．

正确答案

解：（1）由题，得A1（-，0），A2（，0），

设P（x0，y0），Q（x0，-y0），则，

由=1，可得 …①

又P（x0，y0）在双曲线上，则 …②

联立①、②，解得x0=±2

由题意，x0＞0，∴x0=2

∴点T的坐标为（2，0）

（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）

由A1、P、M三点共线，得 …③

由A2、Q、M三点共线，得 …④

联立③、④，解得x0=，y0=

∵P（x0，y0）在双曲线上，∴

∴轨迹E的方程为（x≠0，y≠0）

（3）由题意直线l的斜率不为0．故可设直线l的方程为x=ky+1代入中，得（k2+2）y2+2ky-1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系，得y1+y2= …⑤y1y2= …⑥

∵，∴有（λ＜0）

将⑤式平方除以⑥式，得，即，

由λ∈[-2，-1]，可得

∴，∴

∵=（x1+x2-4，y1+y2）

∴=（x1+x2-4）2+（y1+y2）2=16-+

令t=，∵，∴，即t∈[，]

∴=f（t）=8t2-28t+16=8（t-）2-

而t∈[，]，∴f（t）∈[4，]

∴|+|∈[2，]．

解析

解：（1）由题，得A1（-，0），A2（，0），

设P（x0，y0），Q（x0，-y0），则，

由=1，可得 …①

又P（x0，y0）在双曲线上，则 …②

联立①、②，解得x0=±2

由题意，x0＞0，∴x0=2

∴点T的坐标为（2，0）

（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）

由A1、P、M三点共线，得 …③

由A2、Q、M三点共线，得 …④

联立③、④，解得x0=，y0=

∵P（x0，y0）在双曲线上，∴

∴轨迹E的方程为（x≠0，y≠0）

（3）由题意直线l的斜率不为0．故可设直线l的方程为x=ky+1代入中，得（k2+2）y2+2ky-1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系，得y1+y2= …⑤y1y2= …⑥

∵，∴有（λ＜0）

将⑤式平方除以⑥式，得，即，

由λ∈[-2，-1]，可得

∴，∴

∵=（x1+x2-4，y1+y2）

∴=（x1+x2-4）2+（y1+y2）2=16-+

令t=，∵，∴，即t∈[，]

∴=f（t）=8t2-28t+16=8（t-）2-

而t∈[，]，∴f（t）∈[4，]

∴|+|∈[2，]．

1

题型：简答题

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简答题

如图，设点F是椭圆C：的左焦点，直线l的方程为，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．

（1）求椭圆的C的标准方程；

（2）若过点P且斜率为的直线AB与椭圆交于A、B两点，求弦长|AB|

（3）若过点P的直线AB与椭圆交于A、B 两点，求△ABF的面积的最大值．

正确答案

解：（1）由|MN|=8⇒a=4，

|PM|=，

∴c2-6c+8=0⇒c=2或4（舍），

∴b2=a2-c2=16-4=12，

∴椭圆方程为；

（2）由（1）知，点P坐标为（-8，0），得直线AB方程为，

联立，得13x2+16x-128=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴

==；

（3）由已知图形得：S△ABF=S△PBF-S△PAF=，

设过点P的直线方程为x+8=my，

联立，得（3m2+4）y2-48my+144=0．

得△=（48m）2-4×144×（3m2+4）=4×144×（m2-4），

∴m2-4＞0．

，

∴

==．

因此，

变形得：，

当且仅当，即时等号成立．

解析

解：（1）由|MN|=8⇒a=4，

|PM|=，

∴c2-6c+8=0⇒c=2或4（舍），

∴b2=a2-c2=16-4=12，

∴椭圆方程为；

（2）由（1）知，点P坐标为（-8，0），得直线AB方程为，

联立，得13x2+16x-128=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴

==；

（3）由已知图形得：S△ABF=S△PBF-S△PAF=，

设过点P的直线方程为x+8=my，

联立，得（3m2+4）y2-48my+144=0．

得△=（48m）2-4×144×（3m2+4）=4×144×（m2-4），

∴m2-4＞0．

，

∴

==．

因此，

变形得：，

当且仅当，即时等号成立．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为2．过P（0，-2）的直线l与双曲线C交于不同的两点M、N．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）当时，求直线l的方程；

（Ⅲ）设t=（O为坐标原点），求t的取值范围．

正确答案

解：（I）由对称性，不妨设一渐近线为y=x，右焦点为F（c，0），

则 =2，又=2，c2=a2+b2，

解得a2=4，b2=12，所以双曲线C的方程是 =1；

（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx-2，设点M（x1，y1），N（x2，y2），

由，得x1=2x2．

由得：（3-k2）x2+4kx-16=0，

∵l与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，

∴，消去x2，解得k=

∴直线l的方程为y=x-2．

（Ⅲ）t==

==．（10分）

∵0≤k2＜4且k2≠3，得 t＞52或．（12分）

解析

解：（I）由对称性，不妨设一渐近线为y=x，右焦点为F（c，0），

则 =2，又=2，c2=a2+b2，

解得a2=4，b2=12，所以双曲线C的方程是 =1；

（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx-2，设点M（x1，y1），N（x2，y2），

由，得x1=2x2．

由得：（3-k2）x2+4kx-16=0，

∵l与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，

∴，消去x2，解得k=

∴直线l的方程为y=x-2．

（Ⅲ）t==

==．（10分）

∵0≤k2＜4且k2≠3，得 t＞52或．（12分）

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线C1：-=1，点A、B分别为双曲线C1的左、右焦点，动点C在x轴上方．

（1）若点C的坐标为C（x0，3）（x0＞0）是双曲线的一条渐近线上的点，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；

（2）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；

（3）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（2）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有|PM|=|PQ|？请说明理由．

正确答案

解：（1）双曲线C1的左、右焦点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0），

∵双曲线的渐进线方程为：y=x，

∴点C的坐标为（x0，3）（x0＞0）是渐进线y=x上的点，即点C的坐标为（2，3）．

∵|AC|=5，|BC|=3∴椭圆的长轴长2a=|AC|+|BC|=8＞|AB|=4，

∵半焦距c=2，∴b2=a2-c2=16-4=12．

∴椭圆的方程为+=1；

（2）∵=2R，∴2R=4，即R=2

又圆心在线段AB的垂直平分线上，故可设圆心（0，s）（s＞0）

由4+s2=8，s=2．∴△ABC的外接圆的方程为x2+（y-2）2=8；

（3）假设存在这样的定点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+t）

∵恒有|PM|=|PQ|，∴（x-m）2+（x+t-n）2=x2+（x+t-2）2-8

即（2m+2n-4）x-（m2+n2-2nt+4t+4）=0对x∈R恒成立．

从而2m+2n-4=0且m2+n2-2nt+4t+4=0，消去m，得n2-（t+2）n+（2t+4）=0①

∵方程①的判别式△=t2-4t-12

∴①当-2＜t＜6时，方程①无实数解，∴不存在这样的定点M；

②当t≤-2或t≥6时，方程①有实数解，此时≥2，即直线y=x+t与圆相离或相切，

故此时存在这样的定点M．

解析

解：（1）双曲线C1的左、右焦点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0），

∵双曲线的渐进线方程为：y=x，

∴点C的坐标为（x0，3）（x0＞0）是渐进线y=x上的点，即点C的坐标为（2，3）．

∵|AC|=5，|BC|=3∴椭圆的长轴长2a=|AC|+|BC|=8＞|AB|=4，

∵半焦距c=2，∴b2=a2-c2=16-4=12．

∴椭圆的方程为+=1；

（2）∵=2R，∴2R=4，即R=2

又圆心在线段AB的垂直平分线上，故可设圆心（0，s）（s＞0）

由4+s2=8，s=2．∴△ABC的外接圆的方程为x2+（y-2）2=8；

（3）假设存在这样的定点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+t）

∵恒有|PM|=|PQ|，∴（x-m）2+（x+t-n）2=x2+（x+t-2）2-8

即（2m+2n-4）x-（m2+n2-2nt+4t+4）=0对x∈R恒成立．

从而2m+2n-4=0且m2+n2-2nt+4t+4=0，消去m，得n2-（t+2）n+（2t+4）=0①

∵方程①的判别式△=t2-4t-12

∴①当-2＜t＜6时，方程①无实数解，∴不存在这样的定点M；

②当t≤-2或t≥6时，方程①有实数解，此时≥2，即直线y=x+t与圆相离或相切，

故此时存在这样的定点M．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线：，则以A（1，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（　　）

A3x-y-2=0

Bx-3y+2=0

C3x+y-2=0

D不存在

正确答案

D

解析

解：设以A（1，1）为中点的双曲线的弦BC，B（x1，y1），C（x2，y2），则①，②

①-③可得-=0

∵A（1，1）为BC的中点

∴-=0

∴

∴以A（1，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y-1=3（x-1），即y=3x-2

代入双曲线方程可得3x2-6x+8=0，此时△＜0，即所求直线不存在

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

给定圆P：x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C、D，如果线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程．

正确答案

解：圆P的方程为（x-1）2+y2=1，则其直径长|BC|=2，圆心为P（1，0），

设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y2=4ky+4，

设A（x1，y1），D（x2，y2），

有，…（2分）

则．…（4分）

故

=，…（7分）

因此|AD|=4（k2+1）．…（8分）

因为线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，…（10分）

所以|AD|=3|BC|，即4（k2+1）=6

∴k=±…（12分）

∴l方程为或．…（14分）

解析

解：圆P的方程为（x-1）2+y2=1，则其直径长|BC|=2，圆心为P（1，0），

设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y2=4ky+4，

设A（x1，y1），D（x2，y2），

有，…（2分）

则．…（4分）

故

=，…（7分）

因此|AD|=4（k2+1）．…（8分）

因为线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，…（10分）

所以|AD|=3|BC|，即4（k2+1）=6

∴k=±…（12分）

∴l方程为或．…（14分）

1

题型：单选题

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单选题

过点A （4，3）作直线L，如果它与双曲线-=1只有一个公共点，则直线L的条数为（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

解：因为点A（4，3）在双曲线-=1的右支上，且不是右顶点，

所以要使过A（4，3）的直线与双曲线-=1只有一个公共点，

则直线L的斜率存在且不等于0，设其斜率为k，

则L的方程为y-3=k（x-4），

联立，得（3-4k2）x2+（32k2-24k）x-64k2+96k-48=0．

当3-4k2≠0时，

由△=（32k2-24k）2-4（3-4k2）（-64k2+96k-48）

=1024k4-1536k3+576k2+768k2-1152k+576-1024k4+1536k3-768k2

=576k2-1152k+576=0，得k=1．

所以过点A（4，3）与双曲线-=1相切的直线一条；

当3-4k2=0，即k=时，过点A（4，3）与双曲线-=1相交于一点的直线有两条，它们是平行于双曲线渐近线的两条直线．

综上，直线L的条数是3．

故选C．

1

题型：填空题

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填空题

已知抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于______．

正确答案

3

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，

|AB|=x1+x2+p==p，即有x1+x2=p，

由直线l倾斜角为60°，

则直线l的方程为：y-0=（x-），

即y=x-p，联立抛物线方程，

消去y并整理，得

12x2-20px+3p2=0，

则x1x2=，可得x1=p，x2=p，

则==3，

故答案为：3．

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