直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线相交于P、Q两点，则∠PFQ=（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，设直线MN的方程为：

代入抛物线y2=2px（p＞0），可得y2-2mpy-p2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∵OM的方程为：，ON的方程为：，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线相交于P、Q两点

∴，∴

∵

∴，

∴MQ⊥PQ，NP⊥PQ，

∴∠MQF=∠QFO，∠NPF=∠PFO

∵过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点

∴MQ=MF，NP=NF

∴∠MQF=∠MFQ，∠NFP=∠NPF

∴∠PFQ=90°

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，经过A（a，0），B（0，-b）两点的直线l与原点的距离d=

（1）求双曲线C的方程；

（2）直线y=kx+5与双曲线C交于M，N两点，若|BM|=|BN|，求斜率k的值．

正确答案

解：（1）由题意可得，

，

解得，a=，b=1，c=2；

故双曲线C的方程为：；

（2）由题意可得，

即（1-3k2）x2-30kx-78=0，

设MN的中点为E，

则E（，），

则kEB=，

则k•=-1，

解得，k=．

解析

解：（1）由题意可得，

，

解得，a=，b=1，c=2；

故双曲线C的方程为：；

（2）由题意可得，

即（1-3k2）x2-30kx-78=0，

设MN的中点为E，

则E（，），

则kEB=，

则k•=-1，

解得，k=．

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题型：填空题

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填空题

若直线x+y-a=0与圆（θ为参数）没有公共点，则a的取值范围是 ______．

正确答案

（-∞，2）∪（6，+∞）

解析

解：圆的普通方程是：

圆心到直线的距离是：

∵直线与圆没有公共点

∴d＞r

∴

∴a＞6或a＜2

故答案为：（-∞，2）∪（6，+∞）

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1•k2的值为（　　）

A2

B3

C

D

正确答案

B

解析

解：因为过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，

所以A、B关于原点对称，

设M（p，q），A（-p，-q），B（s，t），

则有k1•k2==，

，，

两式相等得：，

即，=，

k1•k2====22-1=3．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），且△BF1F2是边长为2的等边三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，C两点，记△ABF2，△BCF2的面积分别为S1，S2．若S1=2S2，求直线l的斜率．

正确答案

解：（1）∵△BF1F2是边长为2的等边三角形，

∴a=2c=2，则c=1，b==3，

则椭圆的方程为．

（2）设B到直线AC的距离为h，由S1=2S2，

则，

即AF2=2F2C，

∴，

设A（x1，y1），C（x2，y2），

∵F2（1，0），

∴（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2），

即，

由，解得，

∴直线l的斜率为k=．

解析

解：（1）∵△BF1F2是边长为2的等边三角形，

∴a=2c=2，则c=1，b==3，

则椭圆的方程为．

（2）设B到直线AC的距离为h，由S1=2S2，

则，

即AF2=2F2C，

∴，

设A（x1，y1），C（x2，y2），

∵F2（1，0），

∴（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2），

即，

由，解得，

∴直线l的斜率为k=．

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题型：简答题

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简答题

如图，设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为椭圆的右焦点，已知椭圆的离心率e=，且•=-1．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若存在斜率不为零的直线l与椭圆相交于C、D两点，且使得△ACD的重心在y轴右侧，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．

正确答案

解：（I）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．

A（-a，0），B（a，0），F（c，0）．

=（c+a，0），=（c-a，0）．

∵•=-1，∴c2-a2=-1，

又，a2=b2+c2，

联立解得b2=1，a2=4，c2=3．

∴椭圆的标准方程为=1．

（II）设直线l的方程为x=ty+m，联立，

化为（t2+4）y2+2mty+m2-4=0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），则．

∵△ACD的重心在y轴右侧，

∴，即x1+x2＞2，

∴t（y1+y2）+2m＞2，

∴，即4m＞t2+4．

∵直线l与椭圆相交，则△=4m2t2-4（m2-4）（t2+4）＞0，化为t2+4＞m2，

∴4m＞m2，解得0＜m＜4，

又t2≥0，∴4m＞t2+4≥4，解得m＞1，

∴m的取值范围是（1，4）．

解析

解：（I）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．

A（-a，0），B（a，0），F（c，0）．

=（c+a，0），=（c-a，0）．

∵•=-1，∴c2-a2=-1，

又，a2=b2+c2，

联立解得b2=1，a2=4，c2=3．

∴椭圆的标准方程为=1．

（II）设直线l的方程为x=ty+m，联立，

化为（t2+4）y2+2mty+m2-4=0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），则．

∵△ACD的重心在y轴右侧，

∴，即x1+x2＞2，

∴t（y1+y2）+2m＞2，

∴，即4m＞t2+4．

∵直线l与椭圆相交，则△=4m2t2-4（m2-4）（t2+4）＞0，化为t2+4＞m2，

∴4m＞m2，解得0＜m＜4，

又t2≥0，∴4m＞t2+4≥4，解得m＞1，

∴m的取值范围是（1，4）．

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题型：单选题

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单选题

设a，b是方程x2+x•cotθ-cosθ=0的两个不等的实数根，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与椭圆的位置关系是（　　）

A相离

B相切

C相交

D随θ的变化而变化

正确答案

C

解析

解：由题意可得，a+b=-cotθ，ab=-cosθ，且cot2θ+4cosθ＞0

又A（a，a2）、B（b，b2），

得到直线AB的斜率k=a+b，

所以直线lAB：y-b2=（b+a）（x-b）即y=（b+a）x-ab

∴cotθ x+y-cosθ=0

令x=0，y=cosθ，与y轴交点（0，cosθ）在椭圆内

令y=0，x=-sinθ，与y轴交点（0，sinθ）在椭圆内

直线AB与椭圆x2+=1的位置关系是相交

故选C

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题型：简答题

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简答题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）上的点P向x轴作垂线恰好通过双曲线的左焦点F1，双曲线的虚轴端点B与右焦点F2的连线平行于PO，如图．

（1）求双曲线的离心率；

（2）若直线BF2与双曲线交于M、N两点，且|MN|=12，求双曲线的方程．

正确答案

解：（1）设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），

且设B（0，b），

令x=-c，则-=1，解得y=±，

可取P（-c，），由PO∥BF2，可得-=，

即有a=b，c==a，

则双曲线的离心率e==；

（2）设直线BF2的方程为y=-（x-c），即为y=-（x-c），

代入双曲线方程可得x2+cx-c2-a2=0，

即为x2+2cx-2c2=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则有x1+x2=-2c，x1x2=-2c2，

则|MN|=•=•=3c=12，

解得c=2．

则有a=b=2，

即有双曲线的方程为x2-y2=4．

解析

解：（1）设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），

且设B（0，b），

令x=-c，则-=1，解得y=±，

可取P（-c，），由PO∥BF2，可得-=，

即有a=b，c==a，

则双曲线的离心率e==；

（2）设直线BF2的方程为y=-（x-c），即为y=-（x-c），

代入双曲线方程可得x2+cx-c2-a2=0，

即为x2+2cx-2c2=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则有x1+x2=-2c，x1x2=-2c2，

则|MN|=•=•=3c=12，

解得c=2．

则有a=b=2，

即有双曲线的方程为x2-y2=4．

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题型：单选题

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单选题

直线L：+=1与椭圆E：+=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）

A1个

B2个

C3个

D4个

正确答案

B

解析

解：设P1（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，

S=S△OAP1+S△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴Smax=6．

∵S△OAB=×4×3=6为定值，

∴S△P1AB的最大值为6-6．

∵6-6＜3，

∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C1：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形．

（I）求椭圆C1的方程；

（II）设点P是抛物线C2：y=x2+h（h∈R）与C1的公共点，C2在点P处的切线与C1交于点另一点M．Q是P关于X轴的对称点，问中否存在h使点Q在以PM为直径的圆上．

正确答案

解：（I）由题意，∵椭圆C1：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形

∴b=1，2•=1

∴a=2，b=1

∴所求的椭圆方程为，

（II）不妨设P（t，t2+h），M（x0，y0），则（t2+h）2+4t2-4=0（1）

假设存在h使点Q在以PM为直径的圆上，则

∵

∴M（-t，-t2-h），∴2t=

∴h=t2＞0

代入（1）得h2+h-1=0

∴h=

∴存在h=，使点Q在以PM为直径的圆上．

解析

解：（I）由题意，∵椭圆C1：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形

∴b=1，2•=1

∴a=2，b=1

∴所求的椭圆方程为，

（II）不妨设P（t，t2+h），M（x0，y0），则（t2+h）2+4t2-4=0（1）

假设存在h使点Q在以PM为直径的圆上，则

∵

∴M（-t，-t2-h），∴2t=

∴h=t2＞0

代入（1）得h2+h-1=0

∴h=

∴存在h=，使点Q在以PM为直径的圆上．

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