- 直线与圆锥曲线
- 共2643题
已知双曲线x2一y2=1．
（1）若直线l：y=
（2）求以定点M（2，1）为中点的弦所在直线方程：
（3）思考以定点N（1，1）为中点＜弦存在吗？（数形结合）
正确答案
解：（1）直线y=
3x2+4bx-4b2-4=0，
即有△=16b2+12（4b2+4）＞0恒成立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有x1+x2=-
则|AB|=
解方程可得b=±1，
即有直线方程为y=
（2）设以定点M（2，1）为中点的弦为CD，
若直线的斜率不存在，设为x=2，代入双曲线的方程，显然无解；
可设直线CD的方程为y=k（x-2）+1，代入双曲线的方程可得，
（1-k2）x2-2k（1-2k）x-（1-2k）2-1=0，
△=4k2（1-2k）2+4（1-k2）[（1-2k）2-1]＞0，
x1+x2=
由M为CD的中点，可得
解得k=2，代入判别式，可得△＞0成立，
则所在直线方程为y=2x-3；
（3）假设存在以定点N（1，1）为中点弦EF，
若x=1，显然不成立；
可设直线CD的方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线的方程可得，
（1-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-1=0，
△=4k2（1-k）2+4（1-k2）[（1-k）2-1]＞0，
x1+x2=
由M为CD的中点，可得
解得k=1，代入判别式，可得△＞0不成立，
通过图象观察，由于直线恒过定点（1，1），
将直线绕着定点（1，1）旋转，发现不存在以（1，1）为中点的弦．
故不存在这样的直线．
解析
解：（1）直线y=
3x2+4bx-4b2-4=0，
即有△=16b2+12（4b2+4）＞0恒成立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有x1+x2=-
则|AB|=
解方程可得b=±1，
即有直线方程为y=
（2）设以定点M（2，1）为中点的弦为CD，
若直线的斜率不存在，设为x=2，代入双曲线的方程，显然无解；
可设直线CD的方程为y=k（x-2）+1，代入双曲线的方程可得，
（1-k2）x2-2k（1-2k）x-（1-2k）2-1=0，
△=4k2（1-2k）2+4（1-k2）[（1-2k）2-1]＞0，
x1+x2=
由M为CD的中点，可得
解得k=2，代入判别式，可得△＞0成立，
则所在直线方程为y=2x-3；
（3）假设存在以定点N（1，1）为中点弦EF，
若x=1，显然不成立；
可设直线CD的方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线的方程可得，
（1-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-1=0，
△=4k2（1-k）2+4（1-k2）[（1-k）2-1]＞0，
x1+x2=
由M为CD的中点，可得
解得k=1，代入判别式，可得△＞0不成立，
通过图象观察，由于直线恒过定点（1，1），
将直线绕着定点（1，1）旋转，发现不存在以（1，1）为中点的弦．
故不存在这样的直线．
已知椭圆E：
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点P（-2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1•k2的值．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得，2c=2
解得，a2=4，b2=1；
故椭圆E的方程为
（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，
直线MN与y轴垂直，
则点N的纵坐标为0，
故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．
当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；
由
（
解得，yM=
∴M（
同理N（
由直线MN与y轴垂直，则
∴（k2-k1）（4k2k1-1）=0，
∴k2k1=
解析
解：（Ⅰ）由题意得，2c=2
解得，a2=4，b2=1；
故椭圆E的方程为
（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，
直线MN与y轴垂直，
则点N的纵坐标为0，
故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．
当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；
由
（
解得，yM=
∴M（
同理N（
由直线MN与y轴垂直，则
∴（k2-k1）（4k2k1-1）=0，
∴k2k1=
设直线y=2x-4与抛物线y2=4x交于A，B两点．
（1）求线段AB的中点；
（2）若F为抛物线的焦点，求△FAB的面积．
正确答案
解：（1）直线y=2x-4与抛物线y2=4x联立可得x2-5x+4=0，
∴x=1或4，
∴A（1，-2），B（4，4），
∴线段AB的中点（2.5，1）；
（2）|AB|=
F到直线AB的距离为d=
∴△FAB的面积S=
解析
解：（1）直线y=2x-4与抛物线y2=4x联立可得x2-5x+4=0，
∴x=1或4，
∴A（1，-2），B（4，4），
∴线段AB的中点（2.5，1）；
（2）|AB|=
F到直线AB的距离为d=
∴△FAB的面积S=
给定四条曲线：①x2+y2=
正确答案
解析
解：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线
已知双曲线
正确答案
解析
解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；
若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，
代入双曲线的方程，可得（1-4k2）x2=4，①
当1-4k2=0，即有k=±
当1-4k2＞0，即有-
当1-4k2＜0，即有k＜-
综上可得符合条件的直线不存在．
故选A．
若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与曲线x2-y2=1总有公共点，则b的取值范围是（ ）
A
B
C（-2，2）
D[-2，2]
正确答案
解析
解：把y=k（x-2）+b代入x2-y2=1得x2-[k（x-2）+b]2=1，
△=4k2（b-2k）2+4（1-k2）[（b-2k）2+1]
=4（1-k2）+4（b-2k）2
=4[3k2-4bk+b2+1]=4[3（
不论k取何值，△≥0，则1-
∴
∴b2≤3，则
故选B
已知点A（m，2）在曲线C：y2=4x上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，则直线DE过定点______．
正确答案
（5，-2）
解析
解：把点A（m，2）代入y2=4x，可得22=4m，解得m=1，∴A（1，2）．
由题意可知：直线AD，AE的斜率都存在．
设直线AD：y-2=k（x-1），则
联立
∴D
同理可得E（（1+2k）2，-（4k+2））．
∴kDE=
∴直线DE的方程为：y+（4k+2）=
化为（k2-1）（2+y）+k（x+y-3）=0，
令
∴直线DE过定点（5-，2）．
故答案为（5，-2）．
已知点P（6，8）是椭圆
（1）椭圆的方程．
（2）求sin∠PF1F2的值．
正确答案
解：（1）∵
∴（-c-6）（c-6）+64=0，解得c=10．
∴F1（-10，0），F2（10，0），
∴
∴
∴椭圆方程为 
（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F1M|=10+6=16，
∴
∴sin∠PF1F2=
解析
解：（1）∵
∴（-c-6）（c-6）+64=0，解得c=10．
∴F1（-10，0），F2（10，0），
∴
∴
∴椭圆方程为
（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F1M|=10+6=16，
∴
∴sin∠PF1F2=
直线l：y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1有且只有一个公共点，求K的值．
正确答案
解：联立
①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；
②当1-k2≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=4k2+8（1-k2）=0，解得
综上可得：k=±1，
解析
解：联立
①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；
②当1-k2≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=4k2+8（1-k2）=0，解得
综上可得：k=±1，
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（2，0）的直线l的与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，当∠AOB为锐角时，求直线l的斜率k的取值范围．
正确答案
解：（1）由
依题意
所以椭圆C的方程为
（2）设l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，得
于是
∵∠AOB为锐角，∴
∴
又
所以直线l的斜率k的取值范围是（-
解析
解：（1）由
依题意
所以椭圆C的方程为
（2）设l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，得
于是
∵∠AOB为锐角，∴
∴
又
所以直线l的斜率k的取值范围是（-
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