热门试卷

解：（I）由已知得动点P的轨迹为以点F为焦点，以直线l：为准线的抛物线，

∴点P的轨迹方程是y2=-2x．

（II）①当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为x=0，直线l与抛物线y2=-2x切于点（0，0）．

②当直线n斜率存在时，设直线n的斜率为k，直线n方程为y=kx+2，

代入y2=-2x得：k2x2+2（2k+1）x+4=0． 

当k=0时，直线n的方程为y=2，n的方程与抛物线y2=-2x有且只有一个公共点（-2，2）．

当k≠0时，由△=0得，则直线n的方程：x+4y-8=0．

综上所述：所求直线n的方程为x=0和y=2及x+4y-8=0．

解：（1）由题意有2a=4，a=2，，c=1，b2=3

∴椭圆的标准方程为 …（3分）

（2）直线AB与x轴垂直，则直线AB的方程是x=1

则A（1，）B（1，-），M（2，0）

AM、BM与x=1分别交于P、Q两点，A，M，P三点共线，

，共线             …（4分）

可求P（4，-3），∴，

同理：Q（4，3），

∴命题成立．                     …（5分）

（3）若直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y=2（x-1），

又设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）

联立消y得 19x2-32x+4=0

∴

∴…（7分）

又∵A、M、P三点共线，

∴同理

∴，

∴

综上所述：，结论仍然成立…（10分）

解：（1）由已知得c=2，

∵椭圆Γ过点（3，1），

∴，

∵a2-b2=8，

∴解得a2=12，b2=4，

∴椭圆Γ的方程为．             …（6分）

（2）设l：y=x+b，

代入，得4x2+6bx+3b2-12=0，

根据韦达定理xA+xB=-，xAxB=，

∴yA+yB=，

设M为AB的中点，则M（-，），AB的中垂线的斜率k=-1，

∴AB的中垂线：x+y+=0，将P（-3，2）代入，得b=2，

∴l：x-y+2=0，根据弦长公式可得AB=3，d=，

∴S△PAB=×3×=．

解：（1）设椭圆的焦距为2c，因为，

所以有，故有a2=3b2．从而椭圆C的方程可化为：x2+3y2=3b2①

易知右焦点F的坐标为（），

据题意有AB所在的直线方程为：②

由①，②有：③

设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x0，y0），由③及韦达定理有：．

所以，即为所求．

（2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，

有且只有一对实数λ，μ，使得等式成立．

设M（x，y），由1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），

所以x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．

又点在椭圆C上，所以有（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2

整理为λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．④

由③有：．

所以

=3b2-9b2+6b2=0⑤

又A﹑B在椭圆上，故有（x12+3y12）=3b2，（x22+3y22）=3b2⑥

将⑤，⑥代入④可得：λ2+μ2=1．

对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式成立，

而λ2+μ2=1

在直角坐标系x-o-y中，取点P（λ，μ），

设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为θ，显然λ=cosθ，μ=sinθ．

也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角θ（θ∈R）使等式：=cosθ+sinθ成立．

解：易得椭圆右焦点F的坐标（1，0），

点D的坐标为（2，0），

故|FD|=1．

显示直线AB与x轴不重合，

故设直线AB的方程为x=ty+1，

A（x1，y1），B（x2，y2），

由

于是

所以，

整理得2t4-t2-1=0，

解得t2=1或（舍去），

故t=1或t=-1．

所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

解：（Ⅰ）∵在椭圆C上，∴

又∵，a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，

故所求椭圆方程为．…5分

（Ⅱ）∵，∴．

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，

由，∴与矛盾，故直线l的斜率存在且不为零

设直线l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由，得（4k2+1）x2-8k2x+4（k2-1）=0，∴，，

∴；

由，得x1x2+y1y2=0，解得k=±2，

∴所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．…13分．

解：（1）（方法一）设P（x，y），A（x1，x1），B（x2，-x2）．

∵，∴P是线段AB的中点，∴（2分）

∵，∴，∴．

∴化简得点P的轨迹C的方程为．（5分）

（方法二）∵，∴P为线段AB的中点、（2分）

∵M、N分别在直线y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．

又，∴，∴点P在以原点为圆心，为半径的圆上、

∴点P的轨迹C的方程为．（5分）

（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，

∵l与C相切，∴=，∴．

联立，∴．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1•x2=，．（8分）

∴•=x1x2+y1y2=．

又，∴•=0．（10分）

当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±，代入椭圆方程得

M（，），N（，-）或M（-，），N（-，-），

此时，•=-=0．

综上所述，•为定值0．（12分）

解：（1）动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，

所以M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，

轨迹方程为y2=4x（6分）

（2）由题意，直线AB的方程为4x-3y-4=0（8分）

故A、B两点的坐标满足方程组

得A（4，4），

设C（-1，y），则，（10分）

由，

所以∠ACB不可能为钝角．（13分）

解：（Ⅰ）∵e=，∴c=a，∴b2=a2-c2=，故所求椭圆为：．

又椭圆过点 （），∴，∴a2=4，b2=1，

∴．

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x0，y0）

将直线y=kx+m与    联立得  （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，

∵△=16（4k2+1-m2 ）＞0，即 4k2+1-m2＞0  ①，

又x0==，y0==，又点[-1，0]不在椭圆OE上．

依题意有 =，整理得3km=4k2+1  ②． 由①②可得k2＞，

∵m＞0，∴k＞0，∴k＞，

设O到直线l的距离为d，

则S△OPQ==  

==．

当 = 时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=，m=，

∴直线方程为 y=x+．