热门试卷

解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），

∴，解得a=2，b=1．

∴椭圆C的方程为：．

（2）设直线AS的斜率为k＞0，

∵kAS•kBS=-，

∴．

∴直线AS，BS的方程分别为：

y=k（x+2），y=．

令x=，则M，N．

∴|MN|==，当且仅当k=时取等号．

∴线段MN长度的最小值为．

解：（Ⅰ）∵动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）2+y2=64相切，

∴点P到两定点A（-3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，

∴|PA|+|PB|=8，

∴点P的轨迹是以A、B为焦点，半长轴为4的椭圆，

∴曲线C的方程为：．

（Ⅱ）∵Q不在x轴上，∴设直线OQ：x=my，

∵过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点，∴直线MN：x=my-3，

设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），

则，，

联立方程组，消去x，得：（7m2+16）y2-42my-49=0，

∴y1+y2=，，

x1x2=（my1-3）（my2-3）=m2y1y2-3m（y1+y2）+9，

x1+x2=m（y1+y2）-6，

∴=（x1+3）•（x2+3）+y1y

=x1x2+3（x1+x2）+9+y1y2

=（m2+1）y1y2

=-，

联立方程组，消去x，得，y3为其一根，

∴=（m2+1）=，

∵•=λ，∴-49=112λ，

解得，

∴存在符合条件的常数λ，．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m2+16）y2-42my-49=0，

y1+y2=，，

∵MN∥OQ，

∴S=S△MNQ=S△MNO=|OA|•|y1-y2|=|y1-y2|

=•

=•

=

=≤2．

当且仅当时取等号，

∴所求最大值为2．

解：（1）∵动点P到F（2，0）距离与P点到直线L：x=3的距离之比为．

∴，

化为，为椭圆．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），直线MN的方程为：y=kx-2．

由||=||可知：点A在线段MN的垂直平分线上，

联立，化为（1+3k2）x2-12kx=0，k≠0，△＞0，

∴x1+x2=，

∴=，y0=kx0-2=．

∴P．

∴直线AP的斜率为k1==，

∵AP⊥MN，∴×k=-1，

∴k2=，解得 ．

解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：

将①代入②得

=1，

整理可得25x2+32mx+（16m2-144）=0，

其判别式为△=（32m）2-4•25•（16m2-144）=576（25-m2）

直线与椭圆有一个交点的充要条件是m=±5，

这时直线与椭圆相切．

直线与椭圆有两个交点的充要条件是：-m2+25＞0即|m|＜5，

这时直线与椭圆相割．

直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m2+25＜0，即|m|＞5．

解：（1）设B（x0，y0），则C（-x0，-y0）

所以椭圆方程为

（2）显然直线AB斜率存在．

设AB的方程为：y=kx+1（k＞0），则AC的方程为：，

由得   （1+a2k2）x2+2a2kx=0，解得，

用“”替换“k”得，

故，

所以，

令，则（当且仅当时等号成立），

由得（a-3）（8a2-3a-9）=0

解得a=3，或（因为时，，故舍去），所以a=3．

解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．

又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程

（2）当BC垂直于x轴时，BC=2，S△ABC=1

当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入

解得B（），C（）

则|BC|=4，又点A到直线BC的距离d=

∴△ABC的面积S△ABC=

于是

要使△ABC面积的最大值，则k＜0

由，得S△ABC，其中，当k=-时，等号成立

∴S△ABC的最大值是

解：（1）由题意知：|MF|=|MN|，

由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（2，0）为焦点，

x=-2为准线，

所以轨迹方程为y2=8x；…（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1，x2≠0，

所以AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，

显然，

将y=kx+b与y2=8x消去x，得ky2-8y+8b=0，由韦达定理知①…（6分）

（i）当时，即时，

tanα•tanβ=1，

所以，，

所以y1y2=64，由①知：，所以b=8k．

因此直线AB的方程可表示为y=kx+8k，

即k（x+8）-y=0所以直线AB恒过定点（-8，0）…（8分）

（ii）当时，由α+β=θ，

得tanθ=tan（α+β）==，…（10分）

将①式代入上式整理化简可得：，

所以，

此时，直线AB的方程可表示为y=kx+，

即

所以直线AB恒过定点

当时，AB恒过定点（-8，0），当时，

AB恒过定点．…（12分）

解：（1）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（xp，yp），

∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，

由条件得：xp=x，且，

∵P在圆x2+y2=2上，∴，

整理，得，c=，

∴M轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，

由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=2．

（2）由（1）知，=2，

当A，F2，M三点共线，且M在AF2延长线上时，取等号．

直线，联立，

其中1＜x＜，解得，

即所求的M的坐标．

解：（1）由y=2x2，得y′=4x．当x=-1时，y‘=-4．（2分）

∴l1的方程为y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）

（2）由，得：B点坐标为（a，2a2）．（4分）

由，得D点坐标（a，-4a-2）．（5分）

∴点A到直线BD的距离为|a+1|．（6分）

|BD|=2a2+4a+2=2（a+1）2

∴S1=|a+1|3．（7分）

（3）当a＞-1时，S1=（a+1）3，（8分）

S2=∫-1a[2x2-（-4x-2）]dx

=∫-1a（2x2+4x+2）dx

=

=．（9分）

∴S1：S2=．（11分）

当a＜-1时，S1=-（a+1）3

S2=∫a-1[2x2-（-4x-2）]dx

=∫a-1（2x2+4x+2）dx

=．（13分）

∴S1：S2=，综上可知S1：S2的值为与a无关的常数，这常数是．（14分）