热门试卷

解：（1）∵椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，

∴

∴a=2，b=1

∴椭圆C的方程为；

（2）将y=kx+代入椭圆方程，可得

（4+k2）x2+x-1=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，

∴x1+x2=-，x1x2=-

由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0

又y1=kx1+，y2=kx2+，

则x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+3=0，

∴（1+k2）•（-）+k（-）+3=0

∴k=±满足条件．

解：（1）依题意，∵，e，成等比数列，∴e=．

又F1（0，-2），c=2，∴a=3，

∴b==1，

∴所求方程为x2+y2=1

（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=-平分，

∴直线l的斜率存在．

设直线l：y=kx+m，则

由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2-9=0

∵l与椭圆交于不同的两点M，N，

∴△=4k2m2-4（k2+9）（m2-9）＞0，即m2-k2-9＜0①

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

∴，∴m=②

把②代入①式中得-（k2+9）＜0

∴k＞或k＜-

∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）

解：（1）双曲线的离心率为，

由题意可得椭圆的离心率，

由2a=4，b2=a2-c2，得a=2，，，

故椭圆M的方程为；

（2）联立方程，得，

由，

得．且，

所以，

=．

又P到直线AB的距离为，

所以

=．

当且仅当时取等号，

所以．

解：（I）由双曲线G：知F1（-2，0），F2（2，0），

∴在椭圆E：中有c=2，

又△PF1F2的周长为4+4，

∵|PF1|+|PF2|=4=2a，

a=2，b2=a2-c2=4，

∴椭圆E的方程为，

（II）当直线l的斜率存在时，其方程可设为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

解方程组，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，

则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，

即（8k2-m2+4）＞0，

∴x1+x2=-，，

要使，需使x1x2+y1y2=0，

即+=0，

∴3m2-8k2-8=0，8k2-m2+4＞0对于k∈R恒成立，

而原点到直线l的距离d=，

d2===，d=，

同时有====，

∴|AB|===，

①当k≠0时，|AB|=，

∵，∴，

∴≤12，

∴＜|AB|≤2，当且仅当k=时取”=”．

②当k=0时，|AB|=．

当直线l的斜率不存在时，直线为x=与椭圆=1的两个交点为或满足，

此时|AB|=，

综上，|AB|的取值范围为，

∴S△OAB==|AB|∈．

因此S△OAE∈．

解：（I）由抛物线C：y2=2px（p＞0），可得焦点，

∵抛物线上的点Q（2，y0）到焦点F的距离为．

∴，p=1．

∴y2=2x，

把Q（2，y0）代入抛物线方程，解得y0=±2．

（II）联立，得：k2x2+2（kb-1）x+b2=0（k≠0），△＞0，即1-2kb＞0，

，．

=，

∴1-2kb=k2，

，，

∴△ABC的面积．