直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为，

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l：mx+ny=0（m，n∈R）与椭圆C交于A，B两点，求△AFB面积的最大值．

正确答案

解：（1）∵短轴一个端点到右焦点F的距离为，∴，

∵离心率为，∴，解得，

∴b2=a2-c2=1，

∴椭圆C的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），①n=0，直线l与y轴重合．

此时S△AFB==bc=．

②n≠0，m≠0时，联立，解得，

∴|AB|=2=，

点F（，0）到直线l的距离d=，

∴S△AFB===．

综上①②可知：直线l与y轴重合，△AFB面积取得最大值．

解析

解：（1）∵短轴一个端点到右焦点F的距离为，∴，

∵离心率为，∴，解得，

∴b2=a2-c2=1，

∴椭圆C的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），①n=0，直线l与y轴重合．

此时S△AFB==bc=．

②n≠0，m≠0时，联立，解得，

∴|AB|=2=，

点F（，0）到直线l的距离d=，

∴S△AFB===．

综上①②可知：直线l与y轴重合，△AFB面积取得最大值．

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题型：单选题

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单选题

直线l：2x+by+3=0过椭圆C：10x2+y2=10的一个焦点，则b的值是（　　）

A-1

B

C-1或1

D-或

正确答案

C

解析

解：∵10x2+y2=10

x2=1，c==3，

焦点在y轴上

∴焦点（0．±3）

∵直线l：2x+by+3=0过椭圆C：10x2+y2=10的一个焦点

∴把点的坐标代入直线方程可得：b=±1，

故选：C

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是______．

正确答案

解析

解：设双曲线方程为 -=1．

将y=x-1代入 -=1，整理得（b2-a2）x2+2a2x-a2-a2b2=0．

由韦达定理得x1+x2=，则 ==-．

又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，

所以双曲线的方程是．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知F1（-2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E．

（1）求轨迹E的方程；

（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．

（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．

（ii）过P、Q作直线的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围．

正确答案

解：（1）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，

∴b2=3，故轨迹E的方程为．

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，

∴

解得k2＞3

（i）∵

=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+m2+4k2

=

=．

∵MP⊥MQ，

∴，

故得3（1-m2）+k2（m2-4m-5）=0对任意的k2＞3恒成立，

∴．

∴当m=-1时，MP⊥MQ．

当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，

综上，当m=-1时，MP⊥MQ．

（ii）∵a=1，c=2，

∴是双曲线的右准线，

由双曲线定义得：|PA|=，

方法一：∴=．

∵k2＞3，∴，

注意到直线的斜率不存在时，，

综上，．

方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，

∴，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则，

∴．

由，

故：．

解析

解：（1）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，

∴b2=3，故轨迹E的方程为．

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，

∴

解得k2＞3

（i）∵

=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+m2+4k2

=

=．

∵MP⊥MQ，

∴，

故得3（1-m2）+k2（m2-4m-5）=0对任意的k2＞3恒成立，

∴．

∴当m=-1时，MP⊥MQ．

当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，

综上，当m=-1时，MP⊥MQ．

（ii）∵a=1，c=2，

∴是双曲线的右准线，

由双曲线定义得：|PA|=，

方法一：∴=．

∵k2＞3，∴，

注意到直线的斜率不存在时，，

综上，．

方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，

∴，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则，

∴．

由，

故：．

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题型：填空题

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填空题

如图，抛物线C1：y2=4x和圆C2：（x-1）2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值是______．

正确答案

1

解析

解：由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，

由抛物线C1：y2=4x，得F（1，0），

则直线l的方程为y-0=k（x-1），即y=kx-k．

联立，得k2x2-2k2x-4x+k2=0，

解得：，，

联立，得B（），C（），

，

．

∴=1．

故答案为：1．

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题型：简答题

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简答题

设C1 是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0），C2是以直线2x-y=0与2x+y=0为渐近线，以（0，）为一个焦点的双曲线．

（Ⅰ）求双曲线C2的标准方程；

（Ⅱ）若C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B，求p的取值范围，并求•的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）设双曲线C2的标准方程为：（a＞0，b＞0），

则据题得：

又a2+b2=c2，

∴a=2，b=，

∴双曲线C2的标准方程为： …（4分）

（Ⅱ）将y2=2px（p＞0）代入到中并整理得：2x2-3px+6=0．…（5分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0），则x1+x2=＞0，x1x2=3，

∵△=9p2-4×2×6＞0，

∴p＞．

又F（，0），

∴•=（x1-）（x2-）+y1y2=x1x2-（x1+x2）++2p

=-p2+2p+3=-．…（10分）

∴当且仅当p=2时，•的最大值为9．…（12分）

解析

解：（Ⅰ）设双曲线C2的标准方程为：（a＞0，b＞0），

则据题得：

又a2+b2=c2，

∴a=2，b=，

∴双曲线C2的标准方程为： …（4分）

（Ⅱ）将y2=2px（p＞0）代入到中并整理得：2x2-3px+6=0．…（5分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0），则x1+x2=＞0，x1x2=3，

∵△=9p2-4×2×6＞0，

∴p＞．

又F（，0），

∴•=（x1-）（x2-）+y1y2=x1x2-（x1+x2）++2p

=-p2+2p+3=-．…（10分）

∴当且仅当p=2时，•的最大值为9．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0）分别为其左、右焦点，A、B分别为其上顶点、右顶点，且满足∠F1AB=90°．

（1）求椭圆C的离心率e；

（2）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）由已知得，A（0，b），B（a，0），

则

∵，∴，∴b2=ac，

∴c2+ac-a2=0，即，解得；

（2）显然直线l的斜率存在．

设l：y=k（x-c），得R（0，-kc）．设P（x0，y0），

由，得（x0，y0+kc）=-2（c-x0，-y0），

得P（2c，kc），代入椭圆方程得，，又b2=ac，

所以，

将代入得，，矛盾．

故不存在满足题意的直线l．

解析

解：（1）由已知得，A（0，b），B（a，0），

则

∵，∴，∴b2=ac，

∴c2+ac-a2=0，即，解得；

（2）显然直线l的斜率存在．

设l：y=k（x-c），得R（0，-kc）．设P（x0，y0），

由，得（x0，y0+kc）=-2（c-x0，-y0），

得P（2c，kc），代入椭圆方程得，，又b2=ac，

所以，

将代入得，，矛盾．

故不存在满足题意的直线l．

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题型：简答题

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简答题

设直线y=x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点．

（1）求实数b的取值范围；

（2）当b=1时，求．

正确答案

解：（1）将y=x+b 代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2-2=0．①…（2分）

因为直线y=x+b 与椭圆相交于A，B 两个不同的点，

∴△=16b2-12（2b2-2）=24-8b2＞0（4分）

∴（6分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=1 时，方程①为3x2+4x=0．…（8分）

解得．

此时（10分）

∴==（12分）

（利用弦长公式也可以）

解析

解：（1）将y=x+b 代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2-2=0．①…（2分）

因为直线y=x+b 与椭圆相交于A，B 两个不同的点，

∴△=16b2-12（2b2-2）=24-8b2＞0（4分）

∴（6分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=1 时，方程①为3x2+4x=0．…（8分）

解得．

此时（10分）

∴==（12分）

（利用弦长公式也可以）

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题型：简答题

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简答题

如图，抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，过抛物线E上的动点p作PD⊥l于点D．当∠DPF=时，|PF|=4．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）过点P作直线m⊥DF，求直线m与抛物线E的交点个数；

（Ⅲ）点C是△DPF的外心，是否存在点P，使得△CDP的面积最小．若存在，请求出面积的最小值及P的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）过点P作PQ⊥x轴于点Q，当∠DPF=时，|PF|=4，

∴|PF|=|PD|=4，

则∠FPQ=，

RT△PQF中，|QF|=|PF|sin=2，

又|DP|=|PF|，即有|AF|=|DP|+|QF|=6，即 p=6，

则抛物线E的方程：y2=12x，

（Ⅱ）当点P为原点O时，直线m的方程：x=0与抛物线E切于点O；

设P（x0，y0），则D（-3，y0），F（3，0），kDF=-，即有直线m的斜率为k=，

直线m：y-y0=（x-x0），化简得：6x=y0y-y02+6x0，

代入y2=12x得y2=2（y0y-y02+6x0），

即有y2-2y0y+y02=0，则y=y0（△=0），

则直线m与抛物线E有且只有一个交点P．

（Ⅲ）由已知得DP的中垂线：x=，与直线m：6x=y0y-y02+6x0联立，

得到圆心C的纵坐标yC=，

即有|BC|=|y0-yC|=|y0-|=||，

又|DP|=x0+3，则S△CDP=|BC|•|DP|=||=|y03+72y0+|

不妨设f（y0）=y03+72y0+（y0＞0），

由f′（y0）=3y02+72-=

由f′（y0）＜0，得0＜y0＜2，由f′（y0）＞0，得y0＞2，

则当y0=2时，函数f（y0）有最小值；

故当点P的坐标为（1，2）或（1，-2）时，

S△CDP取得最小值4．

解析

解：（Ⅰ）过点P作PQ⊥x轴于点Q，当∠DPF=时，|PF|=4，

∴|PF|=|PD|=4，

则∠FPQ=，

RT△PQF中，|QF|=|PF|sin=2，

又|DP|=|PF|，即有|AF|=|DP|+|QF|=6，即 p=6，

则抛物线E的方程：y2=12x，

（Ⅱ）当点P为原点O时，直线m的方程：x=0与抛物线E切于点O；

设P（x0，y0），则D（-3，y0），F（3，0），kDF=-，即有直线m的斜率为k=，

直线m：y-y0=（x-x0），化简得：6x=y0y-y02+6x0，

代入y2=12x得y2=2（y0y-y02+6x0），

即有y2-2y0y+y02=0，则y=y0（△=0），

则直线m与抛物线E有且只有一个交点P．

（Ⅲ）由已知得DP的中垂线：x=，与直线m：6x=y0y-y02+6x0联立，

得到圆心C的纵坐标yC=，

即有|BC|=|y0-yC|=|y0-|=||，

又|DP|=x0+3，则S△CDP=|BC|•|DP|=||=|y03+72y0+|

不妨设f（y0）=y03+72y0+（y0＞0），

由f′（y0）=3y02+72-=

由f′（y0）＜0，得0＜y0＜2，由f′（y0）＞0，得y0＞2，

则当y0=2时，函数f（y0）有最小值；

故当点P的坐标为（1，2）或（1，-2）时，

S△CDP取得最小值4．

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题型：单选题

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单选题

已知点F是抛物线C：y2=4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|＞|FB|，则的值等于（　　）

A2

B3

C4

D5

正确答案

B

解析

解：∵点F是抛物线C：y2=4x的焦点，∴F（1，0），

∴过点F且斜率为的直线方程为：y=（x-1），

联立方程组，得3（x-1）2=4x，

解得x1=3，x2=，

∵|FA|＞|FB|，

∴===3．

故选B．

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