热门试卷

解：由抛物线x2=4y的焦点为F（0，1），

所以斜率为的直线l的方程为．

由得（2y-2）2=4y，

即y2-3y+1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=3，

所以|AB|=y1+y2+p=3+2=5．

解：（Ⅰ）设F（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得

y2=b2（1-），解得y=±，

由题意可得，=，=，a2-b2=c2，

解得a=2，b=1，c=．

∴椭圆方程是+y2=1；

（Ⅱ）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），

点E在x轴上，设点E（t，0），

则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，

设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，

则|ME|2=（x-t）2+y2=x2-2tx+t2+1，

当x=m时，|ME|2最小，∴m=-=，①，

又圆E过点F，所以（--t）2=（m-t）2+n2，②，

点P1在椭圆上，∴n2=1-，③，

由①②③解得：t=-或t=-，

又t=-时，m=-＜-2，不合题意，

综上：圆心E（-，0），m=-，n2=，

即有圆E的方程为（x+）2+y2=．

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离为，

∴．由题意得  ，解得a2=3，b2=2．

故椭圆C的方程为．

（Ⅱ）（1）当直线l的斜率为0时，检验知．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2），则有y1=-2y2①，

设直线l：x=my+1，联立消去x，整理得（2m2+3）y2+4my-4=0．

∴．

结合①，得．

代入，得×，即，解得，

故直线l的方程是．

（2）问题等价于在椭圆上是否存在点P，使得成立．

当直线l的斜率为0时，可以验证不存在这样的点，故设直线l的方程为x=my+1，

用（1）的设法，可得P（x1+x2，y1+y2）．

若点P在椭圆C上，则，即．

又点A，B在椭圆上，有，

则，即2x1x2+3y1y2+3=0②，

由（1）知x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1=，

代入②式得，解得，即．

当时，，；

当时，，．

故椭圆C上存在点P，使得成立，即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点，公共点的坐标是．

解：（1）圆M：（x+1）2+（y-2）2=的圆心坐标为M（-1，2），半径为，

∵|PF|+|PQ|最小值为，Q是圆M：（x+1）2+（y-2）2=上一动点，

∴当Q、P、F三点共线时，|QF|最小，M、Q、P、F四点共线时，|MF|最小为2，

∴=2，

∴p=2，

∴抛物线D的方程是y2=4x；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由于O为NG之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有：∠AGN=∠BGN，

当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），

代入抛物线方程得k2x2-4（2k2+1）x+16k2=0，

∴x1+x2=，x1x2=16，

∴kAG+kBG=+=0，

∴∠AGN=∠BGN．

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），化简得：x2-4kx-4b=0，x1+x2=4k，x1x2=4b，

∵|AB|=4，∴=4，即（1+k2）（k2+b）=1，

b=，

（2）x1+x2=4k，x1+x2=4k，AB中点M，

中点M离x轴的距离==2k2+b=k2+=k2+1+-1≥2-1=1

所以中点M离x轴的最短距离为1．

解：（1）∵，离心率

∴2a=4，e==

∴a=2，c=

∴b2=1

∴椭圆C的方程为

（2）由（1）可得

∴，

∴=（）（）+（-y）（-y）

=x2+y2-3

=-3

==

∵x＞0

∴x=1

∵y＞0

∴y=，故P（1，）

（3）显然直线x=0不满足题设，可设直线y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立整理可得，（）x2+4kx+3=0

∴x1+x2=-，，

y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=

由可得，k或k

∵∠AOB为锐角

∴＞0

∴

∴-2＜k＜2

综上可得，或-2