热门试卷

解：（1）设椭圆C的方程为=1a＞0，b＞0，则 解得a2=4，b2=3，所以椭圆C：=1，

（2）（ⅰ）易得F（1，0）

①若直线l斜率不存在，则l：x=1，此时M（1，），n（1，-），=，

②若直线l斜率存在，设l：y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2），则

由消去y得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=（1+k2）[x1x2-（x1+x2）+1]=，

∵k2≥0∴0≤1∴3＜4

∴-3≤

综上，的取值范围为[-3，），

（ⅱ）线段MN的中点为Q，则由（ⅰ）可得，xQ==，yQ=k（xQ-1）=，

所以直线OT的斜率k′==，所以直线OT的方程为：y=-x，

从而T（4，-），此时TF的斜率kTF==-，

所以kTFkMN=-•k=-1，所以TF⊥MN．

解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），

由其定义知，又|AF|=2，

所以p=2，y2=4x

（2）设P（x，y），

则，

因为x≥0，

所以（ⅰ）当a-2≤0即a≤2时，|MP|的值最小为|a|；

（ⅱ）当a-2＞0，即a＞2时，x=a-2时，|MP|的值最小为．

解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则，

因为F的坐标为（1，0），所以，

由，得（x-xA，y-yA）=-2（xA-1，yA）．

即，解得

代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8-4x．

（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），

则，解得．

若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或．

所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（）．

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

∵c=2，且椭圆过点P（2，），所以，解得a2=8，b2=4，

所以椭圆C的方程为；

（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0，3），

设A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），

由，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2-8=0，

则△=16m2k2-4（1+2k2）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0，所以8k2-m2+4＞0，

又，∴，，

∵线段AB的垂直平分线过点Q（0，3），∴kNQ•k=-1，即，∴-m=3+6k2，

代入△＞0整理，得36k4+28k2+5＜0，此式显然不成立．

∴不存在满足题意的k的值．

解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）

将代入椭圆E的方程，得

解得，所以椭圆E的方程为．

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，

∴直线l的方程为．

由得x2+2bx+2b2-4=0，

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则．

又，，

故=．

又，

所以上式分子=

=

故k1+k2=0．