热门试卷

解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在x轴上，设方程为，其左右焦点为F1（-，0），F2（，0），∴c=，

∵椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，

∴a=2b，

∵a2=b2+c2，

∴a=2，b=1，

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）①双曲线C右顶点为A（1，0），

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-1），

代入椭圆方程得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，

设直线l与椭圆E交点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，

∴•=m2-m（x1+x2）+x1x2+y1y2=

=（4m2-8m+1）+，

当2m-=0，即m=时，•=．

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，代入椭圆方程可得x=1，y=±．

不妨设P（1，），Q（1，-），

由M（，0）可得=（，-），=（，），

∴•=，

综上所述，m=时，•为定值；

②∵ON∥PQ，

∴S△NAP=S△OAP，

∴S1+S2=S△OPQ，

∵|PQ|=4•，

∵原点O到直线PQ的距离为d=（k≠0），

∴S△OPQ==

令t=4k2+1，则k2=（t＞1），

∴S==，

∵t＞1，

∴0＜＜1，

∴0＜-+4＜3，

∴0＜S＜．

当直线l的斜率不存在时，S△OPQ==，

综上所述，S1+S2的取值范围是（0，]．

解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），则题意DP⊥x轴且M是DP的中点，

所以（2分）

又P在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4，即x2+（2y）2=4，即（4分）

轨迹是以与为焦点，长轴长为4的椭圆．（6分）

注：只说轨迹是椭圆扣（1分）．

（2）设E（x0，y0），由知E是BF中点，又B（0，2），所以F（2x0，2y0-2），因E，F都在椭圆x2+4y2=4上，所以（9分）

解得：（11分）

若，则（13分）

所以直线l方程为：（14分）

（1）解：圆与x轴交点坐标为，，

故，所以b=3，∴椭圆方程是：．

（2）证明：设点P（x，y），因为F1（-，0），F2（，0），

设点P（x，y），则=tanβ=，=tanα=，

因为β-α=，所以tan（β-α）=-．

因为tan（β-α）==，

所以=-，化简得x2+y2-2y=3．

所以点P在定圆x2+y2-2y=3上．

解：（I）设点Q（x，y），由已知得点Q在FP的中垂线上，（1分）

即|QP|=|QF|，（2分）

根据抛物线的定义知，动点Q在以F为焦点，以直线m为准线的抛物线上，（4分）

∴点Q的轨迹方程为y2=4x（x≠0）．（6分）

（注：没有写出x≠0扣1分）

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，点A坐标为，点B坐标为，

∵点F坐标为（1，0），可以推出∠AFB．（8分）

当直线l的斜率存在时，

设l的方程为y=k（x-2），它与抛物线y2=4x的交点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）．

由得k2x2-（4k2+4）x+4k2=0（k≠0）．

得x1x2=4，y1y2=-8．（10分）

假定θ=p，则有cosθ=，

如图，即（*）

由定义得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1．

从而有|AF|2+|BF|2-|AB|2

=（x1+1）2+（x2+1）2-（x1-x2）2-（y1-y2）2

=-2（x1+x2）-6．

∴|AF|•|BF|=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+5，（12分）

将上式代入（*）得，即x1+x2+1=0．

这与x1＞0且x2＞0相矛盾．

综上，θ角不能等于．（14分）

解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．…（1分）

（Ⅰ）依题意可知：考察区域边界曲线是以A，B为焦点的椭圆，…（2分）

设椭圆方程为：，

则，…（5分）

解得，…（6分）

∴考察区域边界曲线的方程为：．…（7分）

（Ⅱ）设轮船在观测区域内航行的时间为t小时，航线与区域边界的交点为C、D，

∵C（20，0），kCD=tan135°=-1，

∴直线CD方程：y=-x+20．…（8分）

联立方程，整理得：7x2-160x+400=0，…（9分）

解得…（10分）

∴…（11分）

∴（小时）．…（12分）

∴轮船大约在当日上午10时离开观测区域..…（13分）

解：（I）∵四边形B1F1B2F2的面积为2．∴=2，化为．

∵椭圆的离心率为，∴，

联立，解得a=2，c=1，b2=3．

∴椭圆C的方程为．

（II）∵抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的右焦点（1，0）重合，

∴=1，解得p=2．∴抛物线E的方程为：y2=4x．

设过点N（5，2）任意作一条直线l：x-5=m（y-2），交抛物线E于A，B两点．

联立，

化为y2-4my+8m-20=0．△=16m2-4（8m-20）=16（m2-2m+5）＞0．

∴y1+y2=4m，y1y2=8m-20．（*）

假设以AB为直径的所有圆过抛物线E上一定点M．

则=0，

∴．

化为-+t4+=0．

把（*）代入得：（8m-20）2-t2[16m2-2（8m-20）]+t4+16（8m-20-4mt+t2）=0，

化为（64-16t2）m2+（16t2-64t-192）m+t4-24t2+80=0，

此方程对于任意实数m恒成立，则，解得t=-2．

∴以AB为直径的所有圆过抛物线E上一定点M（1，-2）．

（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）

∴2a=EF+EF′=，b2=a2-c2=2

∴所求椭圆方程为；

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则

①，②

②-①，可得k1==-=-；

（3）证明：由题意，k1≠k2，

设M（xM，yM），直线AB的方程为y-1=k1（x-1），即y=k1x+k2，

代入椭圆方程并化简得（）x2+6k1k2x+=0

∴，

同理，，

当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==

直线MN的方程为y-=（x-）

即

此时直线过定点（0，-）

当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，-）

综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，-）．

解：（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则由得：（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0，

由根与系数的关系，得，

且判别式△=4a2b2（a2+b2-1）＞0，即a2+b2-1＞0（*）；

∴线段AB的中点坐标为（）．

由已知得，

∴a2=2b2=2（a2-c2），∴a2=2c2；故椭圆的离心率为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），

设F（b，0）关于直线l：x-2y=0的对称点为（x0，y0），

则且，

解得．

由已知得 x02+y02=4，∴，

∴b2=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件

故所求的椭圆方程为．