- 直线与圆锥曲线
- 共2643题
椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
解：不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2
由①②可得|PF1|=
∵|F1F2|=4
∴cos∠F1PF2=
故选C．
（2016•广东模拟）若双曲线
正确答案
4
解析
解：双曲线的左焦点坐标为：
抛物线y2=2px的准线方程为 
解得：p=4，
故答案为4．
椭圆
正确答案
1
解析
解：椭圆
∴c1=
∴焦点坐标为（1，0）（-1，0），
双曲线：
则半焦距c2=1
∴
则实数a=1
故答案为：1．
如图1，A（-1，0）、B（1，0）是椭圆
（1）求椭圆的离心率；
（2）如图2，点F（1，0），动点Q、R分别在抛物线y2=4x及椭圆
正确答案
解：（1）设P（x1，y1），则
∴
∵
∴x12+y12的最大值与最小值分别为4、
而x12+y12表示线段CD上的点到原点的距离OP的平方，
∴点OP的最大值为OD=2，
即a=2，…（5分）
OP的最小值即为O到线段CD的距离
由平面几何知识得OC=
得
（2）设R（x0，y0），
由抛物线的定义知QF等于点Q到抛物线准线x=1的距离，
∴RF+QR等于点R到抛物线准线x=1的距离为x0+1，…（11分）
由椭圆的第二定义知
∴△NAB的周长l=x0+1
由
得：抛物线与椭圆交点的横坐标为
即得
所以△FQR的周长l的取值范围为
解析
解：（1）设P（x1，y1），则
∴
∵
∴x12+y12的最大值与最小值分别为4、
而x12+y12表示线段CD上的点到原点的距离OP的平方，
∴点OP的最大值为OD=2，
即a=2，…（5分）
OP的最小值即为O到线段CD的距离
由平面几何知识得OC=
得
（2）设R（x0，y0），
由抛物线的定义知QF等于点Q到抛物线准线x=1的距离，
∴RF+QR等于点R到抛物线准线x=1的距离为x0+1，…（11分）
由椭圆的第二定义知
∴△NAB的周长l=x0+1
由
得：抛物线与椭圆交点的横坐标为
即得
所以△FQR的周长l的取值范围为
正确答案
解析
解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点
线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，
则QA=QP，则QA-Q0=QP-QO=OP=R
即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，
根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OA为实轴长的双曲线
故选C．
设双曲线mx2+ny2=1的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的方程为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵抛物线x2=8y的焦点为（0，2）
∴mx2+ny2=1的一个焦点为（0，2）
∴焦点在y轴上
∴
根据双曲线三个参数的关系得到
又离心率为2即
解得n=1，m=
∴此双曲线的方程为
故选B
已知椭圆C1和双曲线C2有公共焦点F1，F2，C1的离心率为e1，C2离心率为e2，P为C1与C2的一个公共点，且满足
正确答案
解析
解：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，焦距长为2c，
∴|PF1|+|PF2|=2a，||PF1|-|PF2||=2m
∴2（|PF1|2+|PF2|2）=4a2+4m2，
∴|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，
∵
∴
∴a2+m2=2c2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=|F1F2|2
∴PF1⊥PF2，
∴
故选B．
已知点
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足
正确答案
∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），
|PF2|=
椭圆E的方程为：
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由
（x1+1，y1-
所以x1+x2=λ-2，y1+y2=
又3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0②
以①式代入可得AB的斜率k=
设直线AB的方程为y=
与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2-3=0，
△=3（4-t2）＞0，t∈（-2，2），x1+x2=-t=λ-2
点M到直线AB的距离为d=
∵
解析
∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），
|PF2|=
椭圆E的方程为：
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由
（x1+1，y1-
所以x1+x2=λ-2，y1+y2=
又3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0②
以①式代入可得AB的斜率k=
设直线AB的方程为y=
与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2-3=0，
△=3（4-t2）＞0，t∈（-2，2），x1+x2=-t=λ-2
点M到直线AB的距离为d=
∵
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）记△MPQ，△NMF的面积分别为S1、S2，若S1=6S2，求直线l的方程．
正确答案
解：（1）由题意可得
∴椭圆C的方程为
（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程可得（2+k2）x2+2kx-1=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-
∴PQ的中点坐标为（-
∴PQ的方程为
令x=0可得m=
∵k≠0，∴m∈（0，
（3）在①中，令y=0可得：x=
由（2）得，M（0，
∴
∵S1=6S2
∴
∴
∴k=±
∴l的方程为y=±
解析
解：（1）由题意可得
∴椭圆C的方程为
（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程可得（2+k2）x2+2kx-1=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-
∴PQ的中点坐标为（-
∴PQ的方程为
令x=0可得m=
∵k≠0，∴m∈（0，
（3）在①中，令y=0可得：x=
由（2）得，M（0，
∴
∵S1=6S2
∴
∴
∴k=±
∴l的方程为y=±
有一动圆P恒过定点F（1，0）且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正角形，则圆心P的轨迹方程是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设圆心坐标（b，c），半径R，则圆的方程：（x-b）2+（y-c）2=R2
令y=0，则x=1，代入得：（1-b）2+c2=R2（*）
令x=0，得b2+（y-c）2=R2，解得y1=c+
由题知，AB=R，即|y1-y2|=R，
∴2
将（*）式代入，消去R得：3（1-b）2+3c2=4b2
将b换成x，c换成y，并化简得：（x+3）2-3y2=12
即P的轨迹方程为
故选：A．
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