直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，椭圆C1：（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．

①求证：直线MP经过一定点；

②试问：是否存在以（m，0）为圆心，为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，∴，则a=3b．

∴，

又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，

∴，∴b=1，则a=3，

∴椭圆方程为．

（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，

由得或

∴，

用去代k，得，

，

∴PM：，即，

∴直线PM经过定点．

②由得或

∴，

则直线AB：，

设，则t∈R，直线PM：，直线AB：y=5tx，

假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，

则（i），（ii）．

由（i）得对t∈R恒成立，则，

由（ii）得，对t∈R恒成立，

当时，不合题意；当时，，得，即，

∴存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为．

解析

解：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，∴，则a=3b．

∴，

又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，

∴，∴b=1，则a=3，

∴椭圆方程为．

（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，

由得或

∴，

用去代k，得，

，

∴PM：，即，

∴直线PM经过定点．

②由得或

∴，

则直线AB：，

设，则t∈R，直线PM：，直线AB：y=5tx，

假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，

则（i），（ii）．

由（i）得对t∈R恒成立，则，

由（ii）得，对t∈R恒成立，

当时，不合题意；当时，，得，即，

∴存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为．

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题型：填空题

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填空题

（2012春•武汉校级期末）设曲线y=x2与直线2x-y-a=0相切，则a=______．

正确答案

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解析

解：联立，化为x2-2x+a=0，

∵曲线y=x2与直线2x-y-a=0相切，∴△=0，即4-4a=0，解得a=1．

故答案为1．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足，若λ∈[]，求直线AB的斜率的取值范围．

正确答案

解：（1）由已知b=，c=1，a=2，所以椭圆的方程（4分）

（2），D，A，B三点共线，D（-4，0），且直AB的斜率一定存在，所以AB的方程y=k（x+4），

与椭圆的方联立得（3+4k2）y2-24ky+36k2=0

△＞0，k2＜．（6分）

A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=，y1y2=①

又得：（x1+4，y1）=λ（x2+4，y2），y1=λy2②．

将②式代入①式，消去y2得：（9分）

当λ∈[]，时，是减函数

∴，

解得

∴直线AB的斜率的取值范围是（12分）

解析

解：（1）由已知b=，c=1，a=2，所以椭圆的方程（4分）

（2），D，A，B三点共线，D（-4，0），且直AB的斜率一定存在，所以AB的方程y=k（x+4），

与椭圆的方联立得（3+4k2）y2-24ky+36k2=0

△＞0，k2＜．（6分）

A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=，y1y2=①

又得：（x1+4，y1）=λ（x2+4，y2），y1=λy2②．

将②式代入①式，消去y2得：（9分）

当λ∈[]，时，是减函数

∴，

解得

∴直线AB的斜率的取值范围是（12分）

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线中心在原点，右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵抛物线y2=16x的焦点是（4，0），

∴c=4，a2=16-9=7，

∴e==．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的标准方程是______．

正确答案

解析

解：抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2，0），故双曲线的c=2，

∵双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1

∴a=1

∴b2=c2-a2=3

∴双曲线的标准方程是

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

②以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切；

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线有相同的焦点．

其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号）

正确答案

②③④

解析

解：①不正确；若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．

②正确；不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．

设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．

而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．

又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，

由抛物线的定义可得：=半径．

所以圆心M到准线的距离等于半径，

所以圆与准线是相切．

③正确；方程2x2-5x+2=0的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率．

④正确；双曲线有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；

故答案为：②③④．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线=1的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=______．

正确答案

解析

解：根据双曲线的方程可知a=，b=，c==2

则准线方程为x=±=±1

椭圆的中焦点为（±，0）

∴=1求得b=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2=2x的准线和双曲线=1的渐近线都相切，则圆心的坐标是______．

正确答案

（）或（）

解析

解：由双曲线方程可得a=4，b=3，c=5，

渐近线方程y=和y=-，即3x-4y=0和3x+4y=0．

抛物线y2=2x的准线为：x=-，

根据圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2=2x的准线相切，

设圆心A的坐标为（，m），（m＞0）．

①当圆与双曲线=1的渐近线3x-4y=0相切时，

圆心A到直线3x-4y=0的距离即为圆的半径1，

即，⇒m=；

②当圆与双曲线=1的渐近线3x+4y=0相切时，

圆心A到直线3x+4y=0的距离即为圆的半径1，

即，⇒m=；

则圆心的坐标是：（）或（）．

故答案为：（）或（）．

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题型：单选题

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单选题

过点M（1，4）作直线l与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有（　　）

A1条

B2条

C3条

D0条

正确答案

C

解析

解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，与抛物线有两个交点（1，）不满足题意

当直线的斜率存在时，可设直线的方程y-4=k（x-1）

联立方程整理可得k2x2+（8k-2k2-8）x+（4-k）2=0

当k=0时，可得x=，y=满足条件

当k≠0时，△=0可得k=2

综上可得满足条件的直线有三条

故选C．

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题型：单选题

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单选题

若双曲线mx2+ny2=1的一个焦点与抛物线的焦点相同，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为（　　）

Ay2+=1

By2-=1

C

D

正确答案

B

解析

解：抛物线的焦点坐标为（0，2），双曲线mx2+ny2=1方程可化为

∴

∵双曲线的离心率为2，

∴，∴n=1

∴m=-

∴双曲线的方程为：

故选：B．

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