热门试卷

解：（1）由题意：，解得：

所以椭圆C：；

（2）由（1）可知，设Q（x0，y0），

直线QA1：，令y=0，得；     

直线QA2：，令y=0，得；

则，

而，所以，

所以；

（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则，即．

设圆心到直线l的距离为d，则，且．

所以．

所以．

因为，所以，所以．

所以．

当且仅当，即时，S△OAB取得最大值．

由，解得．

所以或或或．

所以存在点M满足题意，点M的坐标为

或．

此时△OAB的面积为．

解：因为双曲线的焦点在x轴上，故其方程可设为-=1（a＞0．b＞0）

又因为它的一条渐近线方程为y=x，所以=，

所以e==2，

因为c=4，所以a=2，b=a=2，（4分）

所以双曲线方程为．（6分）

因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为，（10分）

设椭圆方程为（a1＞b1＞0），则c=4，a1=8，b12=82-42=48．

所以椭圆的方程为，易知抛物线的方程为y2=16x．（12分）

解：（I）设椭圆C：+=1（a1＞b1＞0），

由题意可得c1=1，

将直线y=1-x代入椭圆C的方程，可得，（a12+b12）x2-2b12x+b12-a12b12=0，

即有x1+x2=，则中点M的坐标为（，），

由题意可得kOM==2，又a12-b12=1，解方程可得a12=2，b12=1，即有椭圆；

设椭圆E：+=1，由题意可得+=1，又e==，c22=a22-b22，

解方程可得a2=3，b2=3，即有椭圆；

（II）设（x0，y0）为椭圆C上一点，

可设x0=cosα，y0=sinα，0≤α＜2π，

由直线y=kx+m过（x0，y0），可得m=kx0-y0=kcosα-sinα，可得|m|≤，

由y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（2+k2）x2+2kmx+m2-18=0，

可得x1+x2=-，x1x2=，

∴|MN|=•，

O到直线y=kx+m的距离d=，即有△OMN的面积为S=d•|MN|=|m|•，

由S2=-=-2（-）2+，

由m2≤2+k2，可得≤1，

即有S2的最大值为-2（1-）2+=16，

则△OMN的面积的最大值为4．

解：（1）由抛物线y2=16x的焦点为（4，0），可得c=4，

∴可设椭圆的标准方程为+=1，

双曲线=1的焦点（±5，0）为顶点，

即有a=5，

∴b2=25-16=9，

故椭圆的标准方程为+=1．

（2）设E、F是椭圆上关于原点对称点，设E（m，n），则F（-m，-n），

设P点坐标为（x，y），则+=1，+=1．

两式相减可得，+=0，

即为=-，

又kPE=，kPF=，

则kPE•kPF==-，

∴kPE•kPF为定值，且为-．