热门试卷

解：（ I）设P（x，y），由题意得，…（2分）

化简得，所以，所求轨迹方程为…（4分）

（Ⅱ）AM中点Q（）

直线EF的斜率存在，设直线EF方程为：y=kx+m

由得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

方程有解，则△=48（4k2-m2+3）＞0   （*）

设E（x1，y1）F（x2，y2），则…（6分）

EF中点坐标为N（），由

知Q、N为同一点，所以 …（8分）

上两式相比得：…（9分）

由，得代入（*）得：

    （**）…（10分）

将k=-代入得：

m=再代入（**）并结合

得：2 又y0≥0，

所以，（或2）

所以，（舍去）…（12分）

故x0的取值范围为：…（13分）

解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x，

所以=2．

所以=2．

故c=a，

从而双曲线E的离心率e==．

（2）由（1）知，双曲线E的方程为-=1．

设直线l与x轴相交于点C，

当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，

所以|OC|•|AB|=8，

因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为-=1．

以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为-=1也满足条件．

设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜-2；

则C（-，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），

由得y1=，同理得y2=，

由S△OAB=|OC|•|y1-y2|得：

|-|•|-|=8，即m2=4|4-k2|=4（k2-4）．

由得：（4-k2）x2-2kmx-m2-16=0，

因为4-k2＜0，

所以△=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）=-16（4k2-m2-16），

又因为m2=4（k2-4），

所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．

因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为-=1．

解：（Ⅰ）设p（x，y），则，且F1（-c，0），

设f（x）=|PF1|2，则f（x）=（x+c）2+y2=，

∴对称轴方程，由题意知，恒成立，

∴f（x）在区间[-a，a]上单调递增，

∴当x取-a、a时，函数分别取到最小值与最大值，

∴当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值；

（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3，

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立得，（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，则

又∵，

∵椭圆的右顶点为A2（2，0），AA2⊥BA2，∴=-1，

即，∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，

∴，

化简得，7m2+16mk+4k2=0，

解得，m1=-2k，，且均满足3+4k2-m2＞0，

当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；

当时，l的方程为，直线过定点．

所以，直线l过定点，定点坐标为．

解：（I）椭圆C：+=1，直线l：+=1，

将x=ρcosθ，y=ρsinθ分别代入上式，化简可得，

C：，l：；

（II）设Q（ρ，θ），

由|OQ|•|OP|=|OR|2

结合（Ⅰ）可得，ρ•=，

由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得

2x2+3y2-4x-6y=0．

解：（Ⅰ）设直线AM的方程为y=k（x+2）（k＞0）．

由得C（4，6k）；

y=k（x+2）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，

设M（x0，y0），则（-2）x0=，

∴x0=，

∴y0=，

即M（，），

∵B（2，0），

∴直线BM的方程为y=-（x-2），

x=4时，y=-，∴D（4，-）

∴|CD|=|6k+|=4

∵k＞0，∴k=或，

从而M（0，1）或M（，）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得（，），

∴S1=|AB||yM|=，S2=|CD||4-xM|=，

假设存在实数λ，使得S1=λS2，则

λ===≤，

当且仅当144k2=，即k=时，等号成立，

∵λ＞0，

∴0＜λ≤，

∴存在实数λ满足0＜λ≤，使得S1=λS2．

解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AM的斜率为k，∵∠BMN=∠AMN，所以直线BM的斜率为-k，

可求得，则直线AM的方程为，

代入x2=4y得x2-4kx-8k-8=0，∵xAx1=-8，

同理x2=-4k+2，kAB=．（5分）

（Ⅱ）若直线AB的斜率为，由（1）可得：x1=4kAM+2，x2=4kBM+2，

∴kAB=，

∴kAM+kBM=0，

∴∠BMN=∠AMN，

故点N到直线MA，MB的距离相等．（10分）

解：（1）把x=c=代入椭圆C：+=1，可得y=±．

∴，解得b2=2．

∴椭圆C的方程为：． 

（2）当直线与x轴垂直时，，

当直线与x轴不垂直时，设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线的方程为：y=k（x-1），

 代入，

得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0．

∴，

∴

=++k2（x1-1）（x2-1）

=（1+k2）x1x2-++k2 

=．

综上可得：•为常数-．

解：（1）由题意知⊙M的圆心M的坐标为（4，0），

抛物线C的焦点为（，0），

由=（，0），

圆心M到抛物线C的焦点的距离为，即4-=，解得p=，

从而抛物线C的方程为y2=x；

（2）由（1）知，设点H （y02，y0），

则HM的中点（，），

以HM为直径的圆为（x-）2+（y-）2=…①

⊙M：（x-4）2+y2=1 …②

①-②得：直线AB的方程为（4-y02）x-y0y+4y02-15=0，

令x=0，得直线AB在y轴上的截距为d==4y0-（y0≥1）

函数f（y0）=4y0-在[1，+∞）为单调递增函数，

∴直线AB在y轴上的截距的最小值为4×1-=-11．

解：（Ⅰ）由题得，a+c=3，联立a2=b2+c2，

解得a=2，，c=1，

∴椭圆方程为…（4分）

（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），

由可得．

∵点C在椭圆上，故

整理得：…（6分）

又点A在椭圆上可知，故有…①

由，

同理可得：…②

②-①得：3（x1-x2）+4（y1-y2）=0，即…（9分）

又AB∥MN，故

∴直线MN的方程为：，即3x+4y-7=0．

由可得：21x2-42x+1=0⇒xM+xN=2=2xP

∴P是MN的中点，即点P平分线段MN…（12分）

（Ⅱ）方法二：∵，，∴，即AB∥CD

在梯形ABCD中，设AB中点为M1，CD中点为M2，

过P作AB的平行线交AD，BC于点R，S

∵△APD与△BPC面积相等，∴RP=PS

∴M1，M2，P三点共线…（6分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）

∴，，

两式相减得 ，

∴3（x2-x1）（x2+x1）+4（y2-y1）（y2+y1）=0

显然x2≠x1，（否则AB垂直于x轴，∵P（1，1）不在x轴上，此时CD不可能垂直于x轴保持与AB平行）且x1+x2≠0（否则AB平行于x轴或经过原点，此时M1，M2，P三点不可能共线）

∴

设直线AB斜率为kAB，直线OM1斜率为

∴，即…①

设直线CD斜率为kCD，直线OM2斜率为

同理，，又kAB=kCD，

∴，即O，M1，M2三点共线…（8分）

∴O，M1，M2，P四点共线，∴，代入①得 …（9分）

∴直线MN的方程为 ，即3x+4y-7=0

联立3x2+4y2=12得21x2-42x+1=0⇒xM+xN=2=2xP

∴点P平分线段MN…（12分）