热门试卷

解：（I）由题意知，∴a=2，b=1

∴椭圆的方程为 =1

（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）

消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

则由韦达定理得

则

=m2-m（x1+x2）+x1x2+k2（x1-1）（x2-1）

=

=

要使上式为定值需，解得∴为定值

当直线l的斜率不存在时 由 可得

∴

综上所述当 时， 为定值 ．

解：（Ⅰ）令x=-c，则=1，

则y=±，则AC=，

当直线AC与x轴垂直时，四边形ABCD的面积为4，

则••2a=4，解得，b2=2，

又c=，则a==2，

则椭圆标准方程为：=1；

（2）由于直线AC，BD均过左焦点，则以左焦点为极点，x轴为极轴，建立极坐标系，

则有ρ====，

则|AC|=+=

=，

则有|BD|==，

即有|AC|+|BD|=+=，

则=，

由于（1-sin2θ）（1-cos2θ）=1-（sin2θ+cos2θ）+sin2θcos2θ

=+（sin2θ）2，

当sin2θ=±1时，上式取得最大值，且为=．

则有的最小值为×=．

证明：（1）抛物线y2=4x的焦点是F（1，0），（1分）

设直线AB的方程是：x=my+1

代入y2=4x整理得：y2-4my-4=0，（4分）

显然△=16m2+16＞0

而A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1y2=-4．（6分）

（2）据题意设A（），M（-1，yM），（8分）

由A、M、O三点共线有=

∴y1yM=-4，（10分）

又y1y2=-4

则y2=yM，故直线MB平行于x轴．（12分）

解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，

a+c=3，a-c=1，a=2，c=1，b2=3，

∴．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+m，

由，得：（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，3+4k2-m2＞0．．

∵AD⊥BD，kAD•kBD=-1，（或）

∴，y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，，7m2+16mk+4k2=0，

解得，且满足3+4k2-m2＞0

当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；

当时，，直线过定点．

综上可知，直线AB过定点，定点坐标为．

解：（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0），其中c2=a2-b2，

由=2，得|DF1|==c，

从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．

从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，

因此|DF2|=，

所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2-c2=1，

因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；

（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，

y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=-x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，

由（Ⅰ）知F1（-1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（-x1-1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得-+=0，

由椭圆方程得1-=，即3+4x1=0，解得x1=-或x1=0．

当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；

当x1=-时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）

由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=-1，而|y1|=|x1+1|=，

故y0=，

故圆C的半径|CP1|==．

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．

解：（1）因为|PF1|与|PF2|是关于x的方程x2-4x+q=0的两根，

所以|PF1|+|PF2|=4，

因为F1（-，0），F2（，0），F3（0，），F1F3⊥F2F3，

所以-n+3=0，

所以n=3，

所以|F1F2|=2，

所以|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，

所以曲线C为以F1，F2为焦点的椭圆，且a=2，c=，b=1，

所以椭圆的方程为；

（2）①设直线l过x轴上的某一定点N（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=k（x-m），

代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8mk2x+4k2m2-4=0，△＞0，化为1+4k2-k2m2＞0

x1+x2=，x1x2=，

因为Q（-2，0），∠AQB=

所以•=0，

所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，

所以代入整理可得5k2m2+16mk2+12k2=0，

因为∠AQB=，

所以k≠0，

所以5m2+16m+12=0，

所以m=-1.2（m=-2舍去），

所以N（-1.2，0）；

②由①可得l：y=k（x+1.2）（k≠0），代入椭圆方程可得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0，

M（-，），

所以kOM=-，

因为直线OM与直线l的倾斜角互补，

所以k-=0，

所以k=，

所以M（-，±），

所以|QM|==，

所以|AB|=2|OM|=．

解：（1）设 ，

所以点M的轨迹方程为x2+y2=4．

（2）将x2+y2=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到圆（x-1）2+（y+1）2=4，

因为圆平移后恰与x+ky-3=0相切，

所以 ，

得k=0或 ．

（3）由题意可得：不妨设P（c，t）（t＞0），

则

所以

所以0＜tanα≤．显然α为锐角，即：0＜α≤arctan

所以α取值范围为：．

解：（Ⅰ）∵椭圆右顶点到直线x+y+=0的距离为，离心率e=，

∴=，=，

∴a=，c=，

∴b=1，

∴椭圆C的方程为；

（Ⅱ）设P为弦MN的中点．联立直线l：y=x+m与椭圆得4x2+6mx+3m2-3=0，

由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，

解得：-2＜m＜2．

由韦达定理可知：P（-，）．

∴kAP=，

又|AM|=|AN|，

∴AP⊥MN，则=-1，即m=2，

∵-2＜m＜2．

∴不存在实数m使|AM|=|AN|．