热门试卷

解：（1）椭圆C2与C1相似． 因为椭圆C2的特征三角形是腰长为a=4，底边长为2c=的等腰三角形，

而椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2．

（2）椭圆Cb的方程为：，

设lMN：y=-x+t，点M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点为（x0，y0），

则，所以5x2-8tx+4（t2-b2）=0，则．

因为中点在直线y=x+1上，所以有  ，，即直线lMN的方程为：，

由题意可知，直线lMN与椭圆Cb有两个不同的交点，

即方程有两个不同的实数解，

所以，即．

（3）作法：过原点作直线y=kx（k≠1），交椭圆M和椭圆Mλ于点E和点F，则△CDF和△ABE即为所求相似三角形，且相似比为λ．

（1）解：设椭圆的标准方程为，

∵△ADB面积的最大值为12，

∴，即ab=12．

联立，解得a=4，b=3，

∴椭圆C的标准方程为．

（2）证明：∵点P（x0，y0）在椭圆C上运动，∴，∴．

∴圆心O到直线l：x0x+y0y=2的距离=（），

∴直线l：x0x+y0y=2与圆O：x2+y2=1恒有两个交点．

，

∵，

∴，

∴．

解：（1）由e=，得3a2=4c2．

再由c2=a2-b2，解得a=2b．

由题意可知 ，即ab=2．

解方程组 得a=2，b=1．

所以椭圆的方程为 ．

（2）由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2，0）．

设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k．

则直线l的方程为y=k（x+2）．

于是A、B两点的坐标满足方程组

消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0．

由 ，得 ．从而 ．

所以 ．

设线段AB的中点为M，

则M的坐标为 ．

以下分两种情况：

①当k=0时，点B的坐标是（2，0），

线段AB的垂直平分线为y轴，

于是 ．

由 ，得 ．

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为

．

令x=0，解得 ．

由 ，，

=

=，

整理得7k2=2．故 ．

所以 ．

综上，或 ．

解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，

∴b=1，=，

∵a2=b2+c2，

∴a=，b=1，

∴椭圆C的方程为…（3分）

（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），

设直线y=k（x-2），联立椭圆，可得（1+2k2）x2-8kx+8k2-2=0

△=（-8k）2-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，得，…（5分）

条件转换一下就是，

∵x1+x2=，x1x2=

根据弦长公式，•＜，得到．…（7分）

设P（x，y），则

∵，

∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），

∴x=（x1+x2），y=（y1+y2）

根据x1+x2=，x1x2=，把x1，x2消成k，得（9分）

然后代入椭圆，得到关系式，…（11分）

∴，

∵，

∴实数t的取值范围为…（13分）

解：（I）由已知可得kMA•kMB==-，

化为，

∴动点M的轨迹C的方程为；

（II）（i）证明：设T（-3，m），则直线TF的斜率kTF==-m．

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=，直线PQ的方程为：x=my-2，

当m=0时，PQ的方程为：x=-2，也满足上述方程．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，

化为（3+m2）y2-4my-2=0，

△=16m2+8（m2+3）＞0，

∴y1+y2=，y1y2=，

∴x1+x2=m（y1+y2）-4=．

∴PQ的中点N．

∴直线ON的斜率kON=-．

又直线OT的斜率kOT=-．

∴点N在直线OT上，

∴OT平分线段PQ．

（ii）由（i）可得|TF|=．

|PQ|===．

∴===，当且仅当m=±1时取等号．

∴当最小时，点T的坐标为（-3，±1）．

解：（1）点到焦点的距离就是到准线的距离，

∴…（2分）

∵在抛物线上得：a•x0=8…（3分）

∴a2-12a+32=0，a=4（舍）或a=8，

∴x0=1（舍）或x0=2…（5分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（i）直线l的方程为：y=x-4，…（6分）

联立，整理得：x2-12x+16=0…（7分）

∴|AB|==．…（9分）

（ⅱ）设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G．可得：|EG|2=|MG|2-|ME|2，…（11分）

即|EG|2=|MA|2-|ME|2=

=

==…（13分）

当a=3时，|EG|2=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值．…（14分）

因此存在直线m：x=3满足题意                                    …（15分）

（1）证明：圆M：x2+8x+y2=0的圆心M（-4，0），半径为4，

圆N：x2-8x+y2+12=0的圆心N（4，0），半径为2，

双曲线C：x2-=1的焦点即为M，N，e==4，准线x=±，

由双曲线的定义，可得，PM-PN=2a=2，

PM=PA+4，PN=PB+2，即有PA-PB=0，即PA=PB，

则△PAB是等腰三角形；

（2）解：由于△PAB、△PMN的面积分别为S1、S2，

设PA=t，则S1=t2sin∠APB，S2=（t+4）（t+2）sin∠APB，

则有==1++=8（+）2-．

由于PM•PN=e（x0-）•e（x0+）=16x02-1≥15．

即有（t+4）（t+2）≥15，解得，t≥1（t≤-7舍去）．

即0＜≤1，则∈（1，15]；

（3）解：连接QM，QN，由于PA=PB，

点A处圆M的切线为l1，点B处圆N的切线为l2，

则QA=QB，

设l1和l2交点Q（x，y），

则=，

即有=，

化简得，x=．

则l1和l2交点Q的轨迹方程为x=．

解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，

又=，a2-c2=b2，

可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，

（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，

Q（-λx0，-λy0），由于+y02=1，

又+=1，即（+y02）=1，

所以λ=2，即||=2；

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①

则有x1+x2=-，x1x2=，所以|x1-x2|=，

由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），

则△AOB的面积为S=|m|•|x1-x2|=|m|•

=2，设=t，则S=2，

将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，

由△≥0可得m2≤1+4k2，②

由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，

即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，

由（i）知，△ABQ的面积为3S，

即△ABQ面积的最大值为6．

解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，

化入C的方程，并化简，得（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0，

设B（x1，y1）、D（x2，y2），

则，①

由M（1，3）为BD的中点知，

故，即b2=3a2，②

故，所以C的离心率．

（Ⅱ）由①、②知，C的方程为：3x2-y2=3a2，

A（a，0），F（2a，0），x1+x2=2，x1•x2=-，

故不妨设x1≤-a，x2≥a，

==a-2x1，

=2x2-a，

|BF|•|FD|=（a-2x1）（2x2-a）=-4x1x2+2a（x1+x2）-a2=5a2+4a+8，

又|BF|•|FD|=17，

故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），

故|BD|=，

连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，

从而MA=MB=MD，

且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．∴△ABD为直角三角形．