热门试卷

解：（Ⅰ）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），

直线OP的方程为y=tx                                 

S1=∫0t（tx-x2）dx=，S2=∫t2（x2-tx）dx=，

因为S1=S2，，所以t=，点P的坐标为（，）            

S=S1+S2==

  S′=t2-2，令S‘=0得t2-2=0，t=              

 因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0                

所以，当t=时，Smin=，P点的坐标为 （，2）．

（I）解：椭圆方程+=1（a＞b＞0）的焦点是（-1，0），故c=1，

又=，所以a=2，b=，

所以所求的椭圆方程为．…（4分）

（II）证明：设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t），

则切线方程分别为，，

又两切线均过点M，可得点A，B的坐标都适合方程x+=1，故直线AB的方程是x+=1，显然直线x+=1恒过点（1，0），故直线AB恒过定点C（1，0）．…（9分）

（III）解：将直线AB的方程x+=1，代入椭圆方程，整理得（+4）y2-2ty-9=0，

所以韦达定理可得：y1+y2=，y1y2=-，

不妨设y1＞0，y2＜0，

|AC|==y1，

同理|BC|=-y2，…（12分）

所以+=（-）==，

即：|AC|+|BC|=|AC|•|BC|，

所以λ=…（14分）

解：（1）∵点M到，的距离之和是4，

∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，

其方程为．

（2）将y=kx+b，代入曲线C的方程，

整理得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，

因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，

所以△=64k2b2-4（1+4k2）（4b2-4）=16（4k2-b2+1）＞0．①

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．②

且y1•y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2．③

显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），

所以，，

由，得（x1+2）（x2+2）+y1y2=0．

将②、③代入上式，整理得12k2-16kb+5b2=0，

所以（2k-b）（6k-5b）=0，即b=2k或．经检验，都符合条件①．

当b=2k时，直线l的方程为y=kx+2k．

显然，此时直线l经过定点（-2，0）点．即直线l经过点A，与题意不符．

当时，直线l的方程为．显然，此时直线l经过定点点，且不过点A．

综上，k与b的关系是：，且直线l经过定点点．

解：（1）由b＞，

知，

∴，

设所求椭圆方程为，

把点P（1，）代入，得b2=3，a2=4，

∴椭圆方程为．

（2），离心率，

设直线l的方程为，

代入椭圆方程，整理得x2+mx+m2-3=0，

∴x1+x2=-m，x1x2=m2-3，

要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k1与直线PB的斜率k2互为相反数，

k1+k2=

∵（2y1-3）（x2-1）+（2y2-3）（x1-1）

=（x1+2m-3）（x2-1）+（x2+2m-3）（x1-1）

=2x1x2+（2m-4）（x1+x2）+6-4m

=2（m2-3）+（2m-4）（-m）+6-4m=0

所以，k1+k2=0，

因此|PM|=|PN|．

解：（1）由题设知a=2，b=

椭圆C的方程

（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于

设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN：x=my+1与椭圆联立可得（3m2+4）y2+6my-9=0

令t=m2+1≥1，则

故

解：（1）设椭圆的方程为，

由焦点F（c，0），则直线AB的方程为y=x-c．

代入椭圆方程化简得（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0，

令A（x1，y1），B（x2，y2），

则，．

由=（x1+x2，y1+y2），=（2，-1），+与=（2，-1）共线，

可得2（y1+y2）+（x1+x2）=0，

又y1=x1-c，y2=x2-c，

∴2（x1+x2-2c）+（x1+x2）=0，

∴，，

∴a2=2b2，

∴．

（2）证明：由（1）可得椭圆的方程为：x2+2y2=2b2，

设，

∵=λ+μ（λ，μ∈R），

∴（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），

，

∵点M在椭圆上，

∴，

化为+（*）．

由（1）可知：，a2=2b2=2c2，

∴=0，

∴x1x2+2y1y2=2（x1-c）（x2-c）==-=-，

又=2b2，，

代入（*）可得，为定值．