热门试卷

解：（I）由题意，，∴，∴椭圆的方程为；

（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得

（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，则△=16k4-4（1+2k2）（8k2-2）=-16k2+8＞0，∴k2＜

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=-

∴AB的中点的坐标为（）

∴AB的垂直平分线的方程为y+=-（x-）

将点C（m，0）代入可得0+=-（m-）

∴m=

∵0＜m＜2

∴恒成立

∴存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|．

（1）证明：设椭圆方程为①

∴

∴②；③

解得交点C，，代入①得

满足①式，∴C在椭圆上，A，C，T三点共线；

（2）解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF

∵=3，

∴CE=

∴

代入①得

∴a2=2c2，b2=c2

设P（x0，y0），∴

∵

∴，

直线AC的方程为：x+2y-2c=0

P到直线AC的距离为=

=

要求四边形APCB的面积最大值，只要求x0+2y0的最大值

∵

∴

当且仅当时，x0+2y0的最大值为

∴四边形APCB的面积最大值为

∴c2=1，a2=2，b2=1

∴椭圆方程为，P的坐标为．

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，当t=3时，PQ中点为（0，3），所以b=3

∵a2-b2=16，∴a2=25

∴椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）①证明：直线AF1：y=2x+8；AF2：y=-2x+8；

所以可得P（，t），Q（，t）

∵直线QR∥AF1交F1F2于点R，∴R（4-t，0）

设△PRF1的外接圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则

∴

∴圆心坐标为

∴圆心C在定直线7x+4y+8=0上；

②由①可得圆C的方程为：x2+y2+tx+（4-）y+4t-16=0

整理可得（x2+y2+4y-16）+t（x-y+4）=0

∴x2+y2+4y-16=0，且x-y+4=0

联立此两方程解得x=，y=或x=-4，y=0

∴圆C恒过异于点F1的一个定点，该点的坐标为（，）．

解：①设直线l的斜率等于k，则当 k=0时，直线l的方程为 y=1，满足直线与抛物线y2=2x仅有一个公共点，

当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为 y=kx+1，

代入抛物线的方程可得：

k2x2+（2k-2）x+1=0，根据判别式等于0，求得 k=，故切线方程为  y=x+1．

②当斜率不存在时，直线方程为x=0，经过检验可得此时直线也与抛物线y2=2x相切．

故所求的直线方程为：y=1，或 x=0，或 x-2y+2=0．

解：（1）设P（x，y），

由题可令，，

∵，

∴即

又∵，

∴，即有．

∴轨迹C的方程为

（2）设N（s，t），M（x，y），

则由可得，（x，y-16）=λ（s，t-16），故x=λs，y=16+λ（t-16），

∵N、M在曲线C上，

∴

消去s得，．

∵λ≠0且λ≠1，

∴

又∵|t|≤4，

∴，解得（λ≠1）

故实数λ的取值范围为（λ≠1）．

解：（1）由对称性，不妨设一渐近线为，右焦点为F（c，0），

则，即b=1又

∴解得a2=2，所以双曲线C的方程是；

（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），

由得：（1-2k2）x2-4kx-4=0，

∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，

∴

∴且k＜0①

又∵，∴x2=2x1

∴，

∴，满足①式．

∴直线l的方程为

解：（1）抛物线焦点为F（2，0），设双曲线方程为，将点（）代入得b2=3，

所以双曲线方程为．

（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．

以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．

设P（x0，y0），则kPA=tan∠PAF=，．

tan2∠PAF==．由得y02=3（x02-1）代入上式，

得tan2∠PAF===tan∠PFA恒成立．∵，，∴∠PFA=2∠PAF恒成立．

解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为

（a＞b＞0），

其半焦距c=6

∴，b2=a2-c2=9．

所以所求椭圆的标准方程为

（2）点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）

关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，-6）、F2′（0，6）．

设所求双曲线的标准方程为

由题意知，半焦距

c1=6，

，

b12=c12-a12=36-20=16．

所以所求双曲线的标准方程为．