热门试卷

解：（Ⅰ）依题设A1（-a，0），A2（a，0），则，．

由，得：（-a-1）（a-1）=-1，解得a2=2，又c=1，所以b2=1．

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形．

事实上，依题直线l的方程为y=k（x-1）．

联立，得：（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），

则，，

所以，，

所以．

则直线MD的方程为，

令y=0，得，则．

若四边形ADBE为菱形，则xE+xD=2x0，所以．

yE+yD=2y0，所以．

所以．

若点E在椭圆C上，则．

即9k4+8k2=2（2k2+1）2

整理得k4=2，解得．

所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．

此时点E到y轴的距离为=．

解：（1）抛物线y2=2px的准线x=-，

于是，4+=5，

∴p=2．

∴抛物线方程为y2=4x．

（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2）．

又∵F（1，0），

∴kFA=．

又MN⊥FA，

∴kMN=-，

则FA的方程为y=（x-1），

MN的方程为y-2=-x，

解方程组得 

∴N．

解：（1）设椭圆的方程为：，

由题意得，a=2，所以c=，

又b2=a2-c2=1，

所以椭圆的方程为：；

（2）①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2），

由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，，，

=，

∴12k2+5m2-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得，

当时，恒过定点；

当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（-2，0），不符合题意舍去；

②当直线l垂直于x轴时，直线AB：，则AB与椭圆C相交于，，

∴，∵PA⊥PB，满足题意，

综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为．

解：（1）由抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），得椭圆的左焦点F1为（-1，0），即c=1，

因为过F1的直线l与x轴垂直，所以AB为椭圆通径，CD为抛物线通径，

则|AB|=，|CD|=2p=4，所以=，即，

因为a2=b2+c2，得a=，b=1，所以椭圆方程为，

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）

①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），

由得，（2k2+1）x2+4k2x+2（k2-1）=0，

则△=（4k2）2-4（2k2+1）×2（k2-1）=8k2+8＞0，

x1+x2=，x1x2=，

由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0），

所以=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+k2（x1+1）（x2+1）

=（1+k2）x1x2+（k2-1）（x1+x2）+1+k2

=（1+k2）×+（k2-1）×（）+1+k2

===-，

因为k2≥0，所以-1≤-＜，

所以∈[-1，），

②当直线l斜率不存在时，可得A（-1，）B（-1，-），此时=，

综上得，∈[-1，]，

所以的最大值和最小值分别为、-1．

解：（1）∵△ABF2的周长为8，C上的动点到焦点距离的最小值为1，

∴，解得，

∴椭圆C的方程为．

（2）设P（s，t），M（m，n），N（m，-n）．

则，，

∴，．

直线MP的方程为，令y=0，解得x1=，

同理得到x2=．

∴x1x2====4．

故为定值．

解：（Ⅰ）由，消y得：x2-5x+4=0…（3分）

解出x1=1，x2=4，于是，y1=-2，y2=4

因点A在第一象限，所以A，B两点坐标分别为A（4，4），B（1，-2）…（6分）

（Ⅱ）解一：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）…（8分）

由（Ⅰ）知，A（4，4），B（1，-2），，=（0，-2）…（10分）

于是，…（14分）

解二：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）…（8分）

由两点间的距离公式可得，|FA|=5，|FB|=2…（11分）

由余弦定理可得…（14分）

解：（1）点A（3，1）代入圆C方程，得（3-m）2+1=5，

∵m＜3，∴m=1，；

（2）设直线PF1的斜率为k，则PF1：y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0，

因为直线PF1与圆C相切，所以=，解得k=，或k=．

当k=时，直线PF1与x轴交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k=时，直线PF1与x轴交点横坐标为-4，所以c=4，F1（-4，0），F2（4，0），

所以2a=+=6，a=3，a2=18，b2=2，

所以椭圆E的方程为．