热门试卷

解：（1）由△F1PF2为等腰三角形，若PF1=PF2，则P点在y轴上，与P（a，b）矛盾，

所以PF2=F1F2，所以PF2=2c，

由F2（c，0），所以=（a-c）2+b2=4c2，把b2=a2-c2代入得，

a2-2ac+c2+a2-c2=4c2，整理得：2c2+ac-a2=0．

即2e2+e-1=0，（2e-1）（e+1）=0，解得：；

（2）直线PA为，

又a=2c，所以PA方程为．

代入椭圆方程得A交点为（），B为（0，-b）．

设M（x，y），

则，．

由=-2，得

，

整理得：

．

由，得．

可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程为，

联立，得，

把b=，代入，

得：．

解 （1）直线，

与椭圆的方程联立，解得．

∴．     

（2）设P（x0，y0），M（a，t）（t≠0），

∵A、P、M三点共线，于是，即．   

又，即．        

∴=．

∴当a2-2b2=0时，为常数2b2． 

（3）给出“设F1为椭圆的焦点，C为短轴的顶点，当△COF1为等腰三角形时，为常数2b2或a2．”

或给出“当PB⊥OM时，为常数2b2或a2．”

解：设椭圆C的方程为 +=1（a＞b＞0），

由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．

再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为 +=1．

（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1 ），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，

代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2-4=0，

由△=4t2-4（2t2-4）＞0，求得-2＜t＜2．

利用韦达定理可得 x1+x2=-2t，x1 •x2=2t2-4．

在 +=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，-1），

∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1-x2|

=×2×|x1-x2|=|x1-x2|===，

故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4．

（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为-k，

PA的方程为y-1=k（x-2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1-2k）x+4（1-2k）2-8=0，

∴x1+2=．

同理可得直线PB的方程为y-1=-k（x-2），x2+2=，

∴x1+x2=，x1-x2=，∴AB的斜率K== 

====．

解：（I）∵椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，

∴c=2，可得=2…①

又∵点P（）在椭圆C上

∴…②

联解①②，可得a2=8且b2=4，椭圆C的方程为；

（II）由题意，得E点坐标为（x0，0），

设D（xD，0），可得=（x0，-），=（xD，-），

∵AD⊥AE，可得

∴x0xD+（-）•（-）=0，即x0xD+8=0，得xD=-

∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（，0）

因此，直线QG的斜率为kQG==

又∵点Q（x0，y0）在椭圆C上，可得

∴kQG==-

由此可得直线QG的方程为：y=-（x-），

代入椭圆C方程，化简得（）x2-16x0x+64-16=0

将代入上式，得8x2-16x0x+8=0，

化简得x2-2x0x+=0，所以△=，

从而可得x=x0，y=y0是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．

综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．

解：（1）由椭圆C：的焦距为，且过点（-3，2），∴，

解得，

∴椭圆的方程为．

（2）∵⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，∴⊙O的方程为x2+y2=10．

当弦PQ最大时，即PQ是⊙M的直径，

设直线PA的方程为y-6=k（x-8），即kx-y+6-8k=0．

∵直线PA与⊙O相切，∴点O到直线PA的距离d=，

∴，解得或．

∴直线PA的方程为，或，

化为x-3y+10=0，或13x-9y-50=0．

（3）设∠AOB=2θ，∵，∴2θ∈（0，π）．

==10cos2θ，

∵2θ∈（0，π），∴cos2θ在上单调递减，

因此当θ取得最小值时，cos2θ取得最大值．

∵cosθ=，∴当OP取得最小值时，cosθ取得最大值．

当P点取OM与⊙M的交点时，OP取得最小值．

又|OP|=|OM|-2==8．

∴，cos2θ=2cos2θ-1=-．

∴取得最大值=-．

解：（1）如图，设P（x，y），则|y-1|•|y+1|=1，

化简得y=±或y=0．

故动点P的轨迹为三条平行线；

（2）设P（x，y），由题意可得=|x+2|+4，

即为y2=8（|x+2|+x+2），

即有y2=，

作图如右图，表示一条抛物线和一条射线．

（3）设P（x，y），则|y-1|•|y+1|=a|x-2|•|x+2|，

化简得[（y2-1）+a（x2-4）]•[（y2-1）-a（x2-4）]=0，

即ax2-y2=4a-1或ax2+y2=4a+1（a＞0），

即有当a=时，表示两条相交直线和椭圆；

当a=1时，表示双曲线和圆；

当a且a≠1时，表示双曲线和椭圆．

解：设M（x，y），则

∵点A、B的坐标分别为（-1，0），（5，0），

∴kAM=

∵直线AM，BM的斜率之积是λ（λ≠0），

∴

∴=1

∴λ=-1时，M的轨迹是圆；λ＜-1或-1＜λ＜0时，M的轨迹是椭圆；λ＞0时，M的轨迹是双曲线．