直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设F为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，点F到直线l：x+y+2=0的距离为．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若Q为直线l上一动点，过点Q引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，试探究直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F（0，），

点F到直线l：x+y+2=0的距离为，即有=，

解得p=2，

抛物线C的方程为x2=4y；

（2）设A（x1，），B（x2，），Q（x0，-2-x0），

∵y=x2的导数为y′=x，

即有kAQ=，

∴AQ的方程为y-=（x-x1），

∴x12-2x1x+4y=0．

∵AQ过Q，∴x12-2x1x0-8-4x0=0，

同理x22-2x2x0-8-4x0=0，

∴x1，x2为方程x2-2x0x-4x0-8=0的两个根，

∴x1x2=-4x0-8，x1+x2=2x0，

又kAB==，

∴AB的方程为y-=（x-x1），

∴y=x-，即有y=x-（-x0-2），

即为x0（1+）=y-2，

令y=2，可得x=-2，

所以直线AB过定点（-2，2）

解析

解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F（0，），

点F到直线l：x+y+2=0的距离为，即有=，

解得p=2，

抛物线C的方程为x2=4y；

（2）设A（x1，），B（x2，），Q（x0，-2-x0），

∵y=x2的导数为y′=x，

即有kAQ=，

∴AQ的方程为y-=（x-x1），

∴x12-2x1x+4y=0．

∵AQ过Q，∴x12-2x1x0-8-4x0=0，

同理x22-2x2x0-8-4x0=0，

∴x1，x2为方程x2-2x0x-4x0-8=0的两个根，

∴x1x2=-4x0-8，x1+x2=2x0，

又kAB==，

∴AB的方程为y-=（x-x1），

∴y=x-，即有y=x-（-x0-2），

即为x0（1+）=y-2，

令y=2，可得x=-2，

所以直线AB过定点（-2，2）

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题型：单选题

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单选题

（2014秋•青岛校级期末）F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（　　）

A圆

B椭圆

C双曲线

D抛物线

正确答案

A

解析

解：由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，

∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1

∴△F1MP中，|PF1|=|PM|且Q为MF1的中点

由三角形中位线定理，得|OQ|=|MF2|=（|MP|+|PF2|）

∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，（2a是椭圆的长轴）

可得|MP|+|PF2|=2a，

∴|OQ|=（|MP|+|PF2|）=a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2

∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

已知直线y=kx+m与抛物线y2=2x交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），若OM⊥AB于M，则点M的轨迹方程为（　　）

Ax2+y2=2

B（x-1）2+y2=1

Cx2+（y-1）2=1

D（x-1）2+y2=4

正确答案

B

解析

解：∵

∴两边平方，整理得，可得OA⊥OB

设A（，t），B（，m），

则，解得m=，可得B（，-）

∴直线AB的方程为，

令y=0，得x=2，因此直线AB经过定点C（2，0）

∵OM⊥AB于M，

∴M的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为（1，0），半径r=1

此圆的方程为（x-1）2+y2=1，即为所求的轨迹方程

故选：B

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题型：简答题

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简答题

在阁楼上有一个直径为4m的半圆形窗洞，设计师要设计一个矩形窗户，要求其两个顶点落在圆的直径，另两个顶点落在圆的轨迹上．

（1）根据所给条件，建立合理体系，并写出圆的标准方程．

（2）求矩形面积S与一边的长a的函数关系式．

（3）当一边的长a为多少时，面积S最大值？求其最大值．

正确答案

解：（1）如图，以半圆的直径中点为原点，直径所在直线为x轴建立平面直角坐标系；

圆的圆心在原点，半径为2；

∴圆的方程为x2+y2=4，（y≥0）；

（2）设原点为O，矩形的一条边|AB|=a，连接OA，则：

；

∴矩形的面积S=，（0＜a＜2）；

（3）；

当且仅当a=，即a=时取“=”；

∴当a=时，面积S取最大值4．

解析

解：（1）如图，以半圆的直径中点为原点，直径所在直线为x轴建立平面直角坐标系；

圆的圆心在原点，半径为2；

∴圆的方程为x2+y2=4，（y≥0）；

（2）设原点为O，矩形的一条边|AB|=a，连接OA，则：

；

∴矩形的面积S=，（0＜a＜2）；

（3）；

当且仅当a=，即a=时取“=”；

∴当a=时，面积S取最大值4．

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题型：单选题

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单选题

（文科）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点 F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为（　　）

Ay=±x

By=±x

Cy=±x

Dy=±2x

正确答案

C

解析

解：连接MF2，由过点 PF1作倾斜角为30°，线段PF1的中点M落在y轴上得：|MF1|=|MF2|═|PM|=|PF1|，

∴△PMF2为等边三角形，△PF1F2为直角三角形，

∵是|PF1|-|PF2|=|MF1|=2a，|F1F2|=2c=|MF1|=2a

∴c=a，又c2=a2+b2，

∴3a2=a2+b2，

∴b=a，

∴双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±=±x．

故选 C．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．

（1）写出C的方程；

（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？

正确答案

解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，

其中，所以b2=a2-c2==1．

故轨迹C的方程为：；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）

由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx-3=0

由△=16k2+48＞0，可得：，

再由，

即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，

所以，．

解析

解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，

其中，所以b2=a2-c2==1．

故轨迹C的方程为：；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）

由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx-3=0

由△=16k2+48＞0，可得：，

再由，

即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，

所以，．

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题型：单选题

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单选题

若动圆过定点A（-3，0）且和定圆（x-3）2+y2=4外切，则动圆圆心P的轨迹为（　　）

A双曲线

B椭圆

C抛物线

D双曲线一支

正确答案

D

解析

解：设动圆的半径为R，

∵动圆圆心为P，点A在动圆上，∴|PA|=R

又∵定圆（x-3）2+y2=4的圆心为B（3，0），半径为2，

定圆与动圆P相外切

∴圆心距|PB|=R+2

由此可得|PB|-|PA|=（R+2）-R=2（常数），

∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支

故选：D

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题型：填空题

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填空题

椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于______．

正确答案

解析

解：如图所示，

由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．

又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．

设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．

∴该椭圆的离心率e=．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

抛物线y2=4x的一条弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程式为______．

正确答案

x-y-2=0

解析

解：设弦的两个端点为M（x1，y1），N（x2，y2）．

∴ ①

②

①-②得：，即．

又弦MN被点A（4，2）平分，∴y1+y2=4．

∴．

即弦MN所在直线的斜率为1．

∴这条弦所在的直线方程式为y-2=x-4，即x-y-2=0．

故答案为：x-y-2=0．

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题型：填空题

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填空题

过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x2-y2=4相交于A，B两点，则线段AB的长度为______．

正确答案

解析

解：∵直线倾斜角为30°，

∴k=tan30°=，

∴直线的方程为：y-0=（x+3），

即y=（x+3），

联立方程组，

消去y，并整理，得

2x2-6x-21=0，

∴x1•x2=-，x1+x2=3，

∴|AB|=，

=2．

∴|AB|=2．

故答案为：2．

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