直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知一焦点在x轴上，中心在原点的双曲线的实轴等于虚轴，且图象经过点．

（1）求该双曲线的方程；

（2）若直线y=kx+1与该双曲线只有一个公共点，求实数k的值．

正确答案

解：（1）∵a=b，∴所求圆锥曲线为等轴双曲线．

∴设双曲线方程为，

∵图象经过点，∴，解得a=1，

∴所求双曲线方程为x2-y2=1；

（2）由，

，

∴．

解析

解：（1）∵a=b，∴所求圆锥曲线为等轴双曲线．

∴设双曲线方程为，

∵图象经过点，∴，解得a=1，

∴所求双曲线方程为x2-y2=1；

（2）由，

，

∴．

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题型：单选题

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单选题

已知点A（3，1）是直线l被双曲线所截得的弦的中点，则直线l的方程是（　　）

A9x-4y-23=0

B9x+4y-31=0

Cx-4y+1=0

Dx+4y-7=0

正确答案

A

解析

解：由题意知该直线必存在斜率，设该弦两端点为P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=6，y1+y2=2，

把P，Q两点坐标代入双曲线方程，得①，②，

①-②得，=0，即=0，

整理得，=×=×=，即kPQ=，

故所求直线方程为：y-1=，即9x-4y-23=0．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

如图，已知点B是椭圆（a＞b＞0）的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交椭圆于点M，点P在y轴上，且PM∥x轴，•=9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（　　）

A0＜t＜3

B0＜t≤3

C

D

正确答案

C

解析

解：由题意可得B（0，-b）

∴直线MB的方程为y=x-b

联立方程可得（a2+b2）x2-2ba2x=0

∴M（，），

∵PM∥x轴

∴P（0，）

∴=（0，+b），=（，+b）

∵•=9，

由向量的数量积的定义可知，||||cos45°=9

即||=3

∵P（0，t），B（0，-b）

∴t=3-b=

∴2a2b=3a2+3b2即

∵t=3-b＜b

∴b，t

由a＞b得＞b2

∴b＜3

∴t＞0

综上所述0＜t＜

故选C

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题型：简答题

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简答题

已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两点，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线．

（1）若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|=|CF|；

（2）若（A、B异于原点），直线OB与过A且垂直于X轴的直线m相交于P点，求P点轨迹方程；

（3）若直线AB过抛物线的焦点，分别过A、B点的抛物线的切线相交于点T，求证：，并且点T在l上．

正确答案

证明：（ 1）设A（x1，y1），因，则过A点的抛物线的切线为，

令x=0，得，所以，

由定义知|AF|等于点A的抛物线的准线的距离，即．所以|AF|=|CF|． …（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．

因为，所以x1x2+y1y2+p2=0，，，即x1x2=-2p2．

直线OB的方程：，直线m的方程：，

（1）×（2）得，又x≠0，∴y=-p．即P点轨迹方程为y=-p．…（8分）

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），T（x0，y0）．则．

由于AB是焦点弦，可设AB的方程为，代入x2=2py（p＞0）得：x2-2pkx-p2=0，

∴x1x2=-p2，于是kAT•kBT=-1，故AT⊥BT．

由（1）知，AT的方程：，∴，即x0x1-py1=py0，同理：x0x2-py2=py0．

∴AB的方程为x0x-py=py0，又∵AB过焦点，∴，即，故T点在准线l上．…（12分）

解析

证明：（ 1）设A（x1，y1），因，则过A点的抛物线的切线为，

令x=0，得，所以，

由定义知|AF|等于点A的抛物线的准线的距离，即．所以|AF|=|CF|． …（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．

因为，所以x1x2+y1y2+p2=0，，，即x1x2=-2p2．

直线OB的方程：，直线m的方程：，

（1）×（2）得，又x≠0，∴y=-p．即P点轨迹方程为y=-p．…（8分）

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），T（x0，y0）．则．

由于AB是焦点弦，可设AB的方程为，代入x2=2py（p＞0）得：x2-2pkx-p2=0，

∴x1x2=-p2，于是kAT•kBT=-1，故AT⊥BT．

由（1）知，AT的方程：，∴，即x0x1-py1=py0，同理：x0x2-py2=py0．

∴AB的方程为x0x-py=py0，又∵AB过焦点，∴，即，故T点在准线l上．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

抛物线y2=4x的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2，y1＞0，y2＜0）在抛物线上，且A，F，B共线，．

（1）求x1+x2的值；

（2）求直线AB的方程；

（3）求△AOB的面积．

正确答案

解：（1）抛物线y2=4x的准线方程为x=-1．

∵A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||=x1+x2+2=．

∴x1+x2=．

（2）设直线AB：y=k（x-1），而，x1＞x2，y1＞0，y2＜0，∴k＞0，

由得k2x2-2（k2+2）x+k2=0．

∴，||=．

∴．（8分）

从而，故直线AB的方程为y=，即4x-3y-4=0．

（3）∵=，

∴△AOB的面积为．

解析

解：（1）抛物线y2=4x的准线方程为x=-1．

∵A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||=x1+x2+2=．

∴x1+x2=．

（2）设直线AB：y=k（x-1），而，x1＞x2，y1＞0，y2＜0，∴k＞0，

由得k2x2-2（k2+2）x+k2=0．

∴，||=．

∴．（8分）

从而，故直线AB的方程为y=，即4x-3y-4=0．

（3）∵=，

∴△AOB的面积为．

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题型：单选题

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单选题

过椭圆C：上任一点P作椭圆C的右准线的垂直PH（H为垂足）．延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|（λ≥1）．当点P在C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是（　　）

A（）

B[）

C（）

D（0，）

正确答案

B

解析

解：设P（x1，y1），Q（x，y），因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为（3，y）．

又∵|HQ|=λ|PH|，∴，

∴由定比分点公式，可得：，

代入椭圆方程，得Q点轨迹方程为，

∴离心率e==∈[）．

故选B．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（　　）

A4条

B3条

C2条

D1条

正确答案

B

解析

由题意可得：双曲线x2-=1的渐近线方程为：y=±2x，

点P（1，0）是双曲线的右顶点，故直线x=1 与双曲线只有一个公共点；

过点P （1，0）平行于渐近线y=±2x时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条

所以，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条

故选B

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题型：填空题

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填空题

在空间直角坐标系O-xyz中，=（其中分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量）．有下列命题：

①若=且|，则的最小值为2

②若，若向量与共线且||，则动点P的轨迹是抛物线；

③若=，则平面MQR内的任意一点A（x，y，z）的坐标必须满足关系式=1；

④设，，，若向量与共线且||，则动点P的轨迹是双曲线的一部分．

其中你认为正确的所有命题的序号为______．

正确答案

②③④

解析

解：对于①，由=且|，

所以，即．

又x＞0，y＞0．所以=．

所以命题①不成立；

对于②，由，

所以．

由与共线且||，得，

整理得：y2=-2z+1．

所以动点P的轨迹是抛物线，命题②正确；

对于③，由=，则平面MQR内的任意一点

A（x，y，z）满足，即（x，y，z）=λ（a，0，0）+μ（0，b，0）+t（0，0，c）

所以x=λa，y=μb，z=tc．所以．

由λ+μ+t=1，得=1．所以③正确；

对于④，由，，，得，．

由向量与共线且||，得

，整理得：y2-x2=1（0≤x≤4，-4≤y≤4）．

所以动点P的轨迹是双曲线的一部分，所以④正确．

故正确的答案为②③④．

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题型：简答题

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简答题

已知△AOQ，O为坐标原点，点A（1，0），Q为椭圆+y2=1上的动点，求AQ中点M的轨迹方程．

正确答案

解：设M（x，y），则Q（2x-1，2y），

代入椭圆+y2=1，

得：且y≠0，

∴点M的轨迹方程（y≠0）．

解析

解：设M（x，y），则Q（2x-1，2y），

代入椭圆+y2=1，

得：且y≠0，

∴点M的轨迹方程（y≠0）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，右准线方程为x=2．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线l的方程式．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，∵椭圆离心率为，右准线方程为x=2．

∴，

∴a=，c=1

∴b2=a2-c2=1

∴椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1（-1，0），F2（1，0）

若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=-1，将x=-1代入椭圆方程可得y=

不妨设M（-1，），N（-1，），∴

∴，与题设矛盾，∴直线l的斜率存在．

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）

设M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立，消元可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0

∴x1+x2=，∴y1+y2=k（x1+x2+2）=

∴

∴=+==

∵

∴

∴40k4-23k2-17=0

∴k2=1（负值舍去）

∴k=±1

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1．

解析

解：（Ⅰ）由题意，∵椭圆离心率为，右准线方程为x=2．

∴，

∴a=，c=1

∴b2=a2-c2=1

∴椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1（-1，0），F2（1，0）

若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=-1，将x=-1代入椭圆方程可得y=

不妨设M（-1，），N（-1，），∴

∴，与题设矛盾，∴直线l的斜率存在．

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）

设M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立，消元可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0

∴x1+x2=，∴y1+y2=k（x1+x2+2）=

∴

∴=+==

∵

∴

∴40k4-23k2-17=0

∴k2=1（负值舍去）

∴k=±1

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1．

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