直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．

正确答案

解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）

∵M（2，1）为AB的中点

∴x1+x2=4，y1+y2=2

∵又A、B两点在椭圆上，则，

两式相减得

于是（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

∴，即，

故所求直线的方程为，即x+2y-4=0．

解析

解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）

∵M（2，1）为AB的中点

∴x1+x2=4，y1+y2=2

∵又A、B两点在椭圆上，则，

两式相减得

于是（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

∴，即，

故所求直线的方程为，即x+2y-4=0．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e=，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足=+λ，（其中实数λ为常数）．

（1）求椭圆标准方程；

（2）当λ=1，且直线AB过F点且垂直于x轴时，求过A，B，P三点的外接圆方程；

（3）若直线OA与OB的斜率乘积kOA•kOB=-，问是否存在常数λ，使得动点P满足PG+PQ=4，其中G（-，0），Q（，0），若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（ I）有题设可知：

∴又b2=a2-c2，∴b2=1，

∴椭圆标准方程为

（2）由题意可知直线AB方程为x=1，代入解得，

设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，P三点代入得

，

解得，

所以圆的方程是

（3）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），

则由得

（x，y）=（x1，y1）+λ（x2，y2）=（x1+λx2，y1+λy2），

即x=x1+λx2，y=y1+λy2．

∵点A、B在椭圆x2+2y2=2上，

∴x+2y=2，x+2y+=2，故x2+2y2=（x+λ2x+2λx1x2）+2（y+λ2y+2λy1y2）=（x+2y）+λ2（x+2yx）+2λ（x1x2+2y1y2）

=2+2λ2+2λ（x1x2+2y1y2）．

设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，

由题设条件知kOA•kOB==-，

∴x1x2+2y1y2=0，∴x2+2y2=2+2λ2．即

∴P点是椭圆上的点，

设该椭圆的左、右焦点为G，Q，则由椭圆的定义PG+PQ=4为定值．

所以4=，∴λ=±1，

此时两焦点的坐标为 G（-，0），

∴存在λ=±1使得PG+PQ=4

解析

解：（ I）有题设可知：

∴又b2=a2-c2，∴b2=1，

∴椭圆标准方程为

（2）由题意可知直线AB方程为x=1，代入解得，

设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，P三点代入得

，

解得，

所以圆的方程是

（3）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），

则由得

（x，y）=（x1，y1）+λ（x2，y2）=（x1+λx2，y1+λy2），

即x=x1+λx2，y=y1+λy2．

∵点A、B在椭圆x2+2y2=2上，

∴x+2y=2，x+2y+=2，故x2+2y2=（x+λ2x+2λx1x2）+2（y+λ2y+2λy1y2）=（x+2y）+λ2（x+2yx）+2λ（x1x2+2y1y2）

=2+2λ2+2λ（x1x2+2y1y2）．

设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，

由题设条件知kOA•kOB==-，

∴x1x2+2y1y2=0，∴x2+2y2=2+2λ2．即

∴P点是椭圆上的点，

设该椭圆的左、右焦点为G，Q，则由椭圆的定义PG+PQ=4为定值．

所以4=，∴λ=±1，

此时两焦点的坐标为 G（-，0），

∴存在λ=±1使得PG+PQ=4

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题型：简答题

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简答题

如图，已知圆和抛物线，过坐标原点O的直线与C2相交于点A、B，定点M坐标为（0，-1），直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．

（1）求证：MA⊥MB．

（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．

正确答案

解（1）设直线AB：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立，得x2-kx-1=0．

则x1+x2=k，x1x2=-1．

又，．

所以

=x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1

=-k2-1+k2+1=0．

所以MA⊥MB．

（2）设直线MA：y=k1x-1；MB：y=k2x-1，k1k2=-1

由，得或，所以A，

同理可得．

则．

由，得或，所以D，

同理可得．

∴=．

=．

所以λ的取值范围是．

解析

解（1）设直线AB：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立，得x2-kx-1=0．

则x1+x2=k，x1x2=-1．

又，．

所以

=x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1

=-k2-1+k2+1=0．

所以MA⊥MB．

（2）设直线MA：y=k1x-1；MB：y=k2x-1，k1k2=-1

由，得或，所以A，

同理可得．

则．

由，得或，所以D，

同理可得．

∴=．

=．

所以λ的取值范围是．

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题型：简答题

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简答题

设椭圆的离心率是其左右焦点，点P（xo，3）是直线（其中c2=a2-b2）上一点，且直线PF2的倾斜角为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若A、B是椭圆E上两点，满足|AB|=1，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．

正确答案

解：（1）由e=，得a=2c，

由点P（xo，3）是直线上一点，且直线PF2的倾斜角为，

得，得，所以b2=3c．

则b2=a2-c2=3c2=3c，所以c=1．

则a=2，b2=3．

所以所求椭圆E的方程为；

（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（），B（），代入椭圆方程

得，此时．

当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m．

令A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0

△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=192k2-48m2+144

由△＞0，得4k2+3＞m2．

．

由|AB|==．

得．

点O到直线AB的距离d=．

所以．

所以=

=

=．

∵，∴当k=0时，，

此时，符合4k2+3＞m2．

所以S△AOB的最小值为．

则△AOB面积的最小值为．

解析

解：（1）由e=，得a=2c，

由点P（xo，3）是直线上一点，且直线PF2的倾斜角为，

得，得，所以b2=3c．

则b2=a2-c2=3c2=3c，所以c=1．

则a=2，b2=3．

所以所求椭圆E的方程为；

（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（），B（），代入椭圆方程

得，此时．

当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m．

令A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0

△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=192k2-48m2+144

由△＞0，得4k2+3＞m2．

．

由|AB|==．

得．

点O到直线AB的距离d=．

所以．

所以=

=

=．

∵，∴当k=0时，，

此时，符合4k2+3＞m2．

所以S△AOB的最小值为．

则△AOB面积的最小值为．

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题型：简答题

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简答题

如题图已知椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，△FAB是边长为2的等边三角形．

（I）求椭圆C的方程；

（II）设过点F的直线l交椭圆C于M、N两点，连接MO（O为坐标原点）并延长交椭圆C于点P，求△PMN的面积S△PMN的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可得：b=1，a=2．

∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）由椭圆的对称性可知：点M、P关于点O中心对称，∴S△PMN=2S△OMN．

由（Ⅰ）可知：=，∴F．

设直线l的方程为：x=my+，联立得，消去x得到，

∴，．

∴|y1-y2|==．

∴=．

设，则==1，当且仅当时取等号．

∴S△PMN≤2，即△PMN的面积的最大值为2．

解析

解：（Ⅰ）由题意可得：b=1，a=2．

∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）由椭圆的对称性可知：点M、P关于点O中心对称，∴S△PMN=2S△OMN．

由（Ⅰ）可知：=，∴F．

设直线l的方程为：x=my+，联立得，消去x得到，

∴，．

∴|y1-y2|==．

∴=．

设，则==1，当且仅当时取等号．

∴S△PMN≤2，即△PMN的面积的最大值为2．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为e，半焦距为c，B（0，1）为其上顶点，且a2，c2，b2，依次成等差数列．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；

（Ⅱ）P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且．kBP•kBQ=e2

（i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；

（ii）△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，b=1，a2+b2=2c2，

∵c2+b2=a2，

∴a2=3，c2=2，

∴，e==；

（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

直线方程代入椭圆方程可得（3+m2）y2+2mny+n2-3=0，

∴y1+y2=-，y1y2=，

∴kBP•kBQ=•=e2=，

整理可得n2-2mn-3m2=0

∴n=-m或n=3m，

∴直线PQ的方程为x=my-m=m（y-1）（舍去）或x=my+3m=m（y+3），

∴直线PQ过定点（0，-3）；

（ii）由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM=90°或∠BQM=90°，则P或Q在以BM为直径的圆T上，即在圆x2+（y+1）2=4上，与椭圆方程联立得y=0或1（舍去），

∴P或Q只可以的椭圆的左右顶点，

∴直线PQ的斜率为±．

解析

解：（Ⅰ）由题意，b=1，a2+b2=2c2，

∵c2+b2=a2，

∴a2=3，c2=2，

∴，e==；

（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

直线方程代入椭圆方程可得（3+m2）y2+2mny+n2-3=0，

∴y1+y2=-，y1y2=，

∴kBP•kBQ=•=e2=，

整理可得n2-2mn-3m2=0

∴n=-m或n=3m，

∴直线PQ的方程为x=my-m=m（y-1）（舍去）或x=my+3m=m（y+3），

∴直线PQ过定点（0，-3）；

（ii）由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM=90°或∠BQM=90°，则P或Q在以BM为直径的圆T上，即在圆x2+（y+1）2=4上，与椭圆方程联立得y=0或1（舍去），

∴P或Q只可以的椭圆的左右顶点，

∴直线PQ的斜率为±．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，定义d（P、Q）=|x1-x2|+|y1-y2|为P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“折线距离”．则直线+=1上的一点Q与抛物线x2=-8y上的一点P之间的“折线距离”的最小值为______．

正确答案

解析

解：先固定点P，

如图，d（P、Q）=PG+GQ，d（P、Q1）=PG+GQ1；

而直线方程为+=1，

故GQ＞GQ1，

故d（P、Q）的最小值为d（P、Q1）=|y1-y2|，

再使点P在抛物线x2=-8y上运动，

点P到直线+=1上的距离的最小值为；

故×=；

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，

∴F点的坐标为（1，0）

又∵直线y=2x-4与C交于A，B两点，

则A，B两点坐标分别为（1，-2）（4，4），

则=（0，-2），=（3，4），

则cos∠AFB===-，

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，）．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．

又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为

（II）当BC垂直于x轴时，BC=2，S△ABC=1

当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入

解得B（），C（），

则，又点A到直线BC的距离d=，

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

要使△ABC面积的最大值，则k＜0

由 ≥-1，得S△ABC≤，其中，当k=时，等号成立．

∴S△ABC的最大值是

解析

解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．

又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为

（II）当BC垂直于x轴时，BC=2，S△ABC=1

当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入

解得B（），C（），

则，又点A到直线BC的距离d=，

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

要使△ABC面积的最大值，则k＜0

由 ≥-1，得S△ABC≤，其中，当k=时，等号成立．

∴S△ABC的最大值是

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题型：简答题

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简答题

已知F1（-2，0）、F2（2，0）是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上的点，且•的最大值为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）过左焦点的直线l交椭圆于M、N两点，且•sinθ=cosθ，求l的方程（其中∠MON=θ，O为坐标原点）

正确答案

解：（1）由题意可得c=2，设P（m，n），则=（-2-m，-n），=（2-m，-n），

则•=m2+n2-4，当P为长轴的端点时，P到原点的距离最大，且为a，

即有a2-4=2，即a=，

即有b==，

则椭圆方程为+=1；

（2）椭圆的左焦点为F1（-2，0），则直线l的方程为y=k（x+2），

代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-，x1•x2=，

∵•==||•||cosθ≠0，

∴||•||sinθ=，即S△OMN=，

∵|MN|=•|x1-x2|=，

原点O到m的距离d=，

则S△OMN=|MN|•d=••=，

解得k=±，

∴l的方程为y=±（x+2）．

解析

解：（1）由题意可得c=2，设P（m，n），则=（-2-m，-n），=（2-m，-n），

则•=m2+n2-4，当P为长轴的端点时，P到原点的距离最大，且为a，

即有a2-4=2，即a=，

即有b==，

则椭圆方程为+=1；

（2）椭圆的左焦点为F1（-2，0），则直线l的方程为y=k（x+2），

代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-，x1•x2=，

∵•==||•||cosθ≠0，

∴||•||sinθ=，即S△OMN=，

∵|MN|=•|x1-x2|=，

原点O到m的距离d=，

则S△OMN=|MN|•d=••=，

解得k=±，

∴l的方程为y=±（x+2）．

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