热门试卷

解：（1）将（2，2）代入x2=2py，得4=4p，所以p=1，故抛物线方程为x2=2y．

即．

y对x求导得y′=x，所以抛物线x2=2y上点（2，2）处的切线的斜率为y′|x=2=2．

所以抛物线在点（2，2）处的切线方程为y-2=2（x-2），即y=2x-2．

它与两坐标轴的交点分别为（1，0），（0，-2）．

由题意可知，a=2，b=1．

所以椭圆E的方程分别为；

（2）假设直线BC恒过定点D．

设直线AB的斜率kAB=k1，直线AC的斜率kAC=k2，则k1k2=-4．

从而直线AB的方程为y=k1x+2．

联立，整理得．

从而点B的横坐标，．

所以点B的坐标为．

同理点C的坐标为．

于是，，．

，．

所以点B，C均在直线上．

而两点确定一条直线，所以直线BC的方程为，即．

所以BC恒过定点D（0，0）；

（3）设H（x，y），由（2）知，∠AHO=90°，

所以．

又因为，

所以有x2+y（y-2）=0，即x2+（y-1）2=1．

所以H的轨迹方程为x2+（y-1）2=1（去掉点（0，2））．

解：（1）依题意得F2（1，0），∴c=1，又过点，∴b=．

因此a2=b2+c2=4．

故所求的椭圆C1 的方程为：．

（2）由（1）知F1（-1，0）．以MN为直径的圆过F1⇔．

①若直线l的斜率不存在．易知N （1，），M （1，-）．

==≠0，不合题意，应舍去．

②若直线l的斜率k存在，可设直线为y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2）．

=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2

=x1x2+x1+x2+k（x1-1）•k（x2-1）+1

=（1+k2）x1x2+（1-k2）（x1+x2）+1+k2（*）

联立 消去y得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

∴， 代入（*）．

得：．

由得：．

∴直线l的方程为y=．

（Ⅰ）解：由抛物线的焦点坐标为（1，0），得c=1，

因此a2=b2+1 ①，

直线AB：，即bx-ay-ab=0．

∴原点O到直线AB的距离为 ②，

联立①②，解得：a2=4，b2=3，

∴椭圆C的方程为；

（Ⅱ）由，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，（*）

由直线与椭圆相切，得m≠0且△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，

整理得：4k2-m2+3=0，

将4k2+3=m2，即m2-3=4k2代入（*）式，得m2x2+8kmx+16k2=0，

即（mx+4k）2=0，解得，

∴，

又F1（1，0），∴，则，

∴直线F1Q方程为，

联立方程组，得x=4，

∴点Q在定直线x=4上．

解：（1）过点C作直线的垂线，垂足为N，

由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线的距离相等，

由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，

其中为焦点，为准线，

所以轨迹方程为y2=2px（p＞0）；       

（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2）

不过点P的直线l方程为，

由得y2+2y0y-2y0b=0，

则y1+y2=-2y0，

=

=

==0．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则==（***）                    

设MP0的直线方程为为y-y0=k（x-x0）与曲线y2=2px的交点P0（x0，y0），M（x1，y1）．

由，的两根为y0，y1

则，∴

同理，得

∴，

代入（***）计算得．是定值，命题得证

解：（1）∵平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，

∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离，

∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y2=4x（x≥0）；

当x＜0时，y=0．

∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由题意，直线m的斜率存在，设方程为y-2=k（x-4），与抛物线方程联立，消去x可得ky2-4y-8+4k=0①，

∴=，

∴k=1，此时①中△恒大于0，

∴直线m存在，其方程为y=x-2．

解：（1）∵抛物线C：y2=2px的焦点坐标F（1，0），

∴抛物线C方程为y2=4x．

（2）当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，

∴==．

当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），

设M（-2，yM），N（-2，yN），A（x1，y1），B（x2，y2），

解整理得k2x2-（4+2k2）x+k2=0，

∵∠AOB=∠MON，

∴x1•x2=1．∴===．

综上=．