直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知斜率为1的直线l与双曲线交于A、B两点，且，求直线l的方程．

正确答案

解：设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，由，消去y可得x2-2mx-（m2+2）=0…（4分）

∴△=8（m2+1）＞0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2m，x1x2=-（m2+2）

∴…（8分）

∴m=±1…（10分）

∴l：y=x±1…（12分）

解析

解：设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，由，消去y可得x2-2mx-（m2+2）=0…（4分）

∴△=8（m2+1）＞0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2m，x1x2=-（m2+2）

∴…（8分）

∴m=±1…（10分）

∴l：y=x±1…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：y=x+m，m∈R．

（1）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

（2）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2=4y是否相切？若相切，求出此时的m值；若不相切，说明理由．

正确答案

解：（1）依题意，点P的坐标为（0，m）．

因为MP⊥l，所以×1=-1，

解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径

r=|MP|==2．

故所求圆的方程为（x-2）2+y2=8．

（2）因为直线l的方程为y=x+m

所以直线l′的方程为y=-x-m．

由得x2+4x+4m=0．

△=42-4×4m=16（1-m）．

①当m=1，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；

②当m≠1，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．

解析

解：（1）依题意，点P的坐标为（0，m）．

因为MP⊥l，所以×1=-1，

解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径

r=|MP|==2．

故所求圆的方程为（x-2）2+y2=8．

（2）因为直线l的方程为y=x+m

所以直线l′的方程为y=-x-m．

由得x2+4x+4m=0．

△=42-4×4m=16（1-m）．

①当m=1，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；

②当m≠1，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．

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题型：填空题

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填空题

已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为______．

正确答案

-4

解析

解：因为点P，Q的横坐标分别为4，-2，

代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．

由x2=2y，则y=，所以y′=x，

过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，

所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x-8，y=-2x-2

联立方程组解得x=1，y=-4

故点A的纵坐标为-4．

故答案为：-4．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，=其中O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点S（-，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在x轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设P（x0，y0），∵|OP|=，=，

∴，化为，

解得．

又，解得．

∴椭圆C的方程为；

（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．证明如下：

设点A（x1，y1），B（x2，y2）．

把直线l：代入椭圆方程得，

∴，．

∴=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）

=

=（1+k2）x1x2++4+

=++4+

=

=0．

∴MA⊥MB．

即以AB为直径的圆恒过这个定点M（-2，0）．

解析

解：（1）设P（x0，y0），∵|OP|=，=，

∴，化为，

解得．

又，解得．

∴椭圆C的方程为；

（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．证明如下：

设点A（x1，y1），B（x2，y2）．

把直线l：代入椭圆方程得，

∴，．

∴=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）

=

=（1+k2）x1x2++4+

=++4+

=

=0．

∴MA⊥MB．

即以AB为直径的圆恒过这个定点M（-2，0）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线l：x=2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．

①若PQ=，求圆D的方程；

②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．

正确答案

解：（1）由题意可知：，

∴a=，c=1，b2=a2-c2=1，

∴椭圆C的方程为：

（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），

则圆D的方程：，

直线PQ的方程：2x+ty-2=0，

∴|PQ|=，

∴

∴t2=4，t=±2

∴圆D的方程：（x-1）2+（y-1）2=2或（x-1）2+（y+1）2=2

②证明：设P（x1，y1），

由①知：，

即：

消去t得：=2

∴点P在定圆x2+y2=2上．

解析

解：（1）由题意可知：，

∴a=，c=1，b2=a2-c2=1，

∴椭圆C的方程为：

（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），

则圆D的方程：，

直线PQ的方程：2x+ty-2=0，

∴|PQ|=，

∴

∴t2=4，t=±2

∴圆D的方程：（x-1）2+（y-1）2=2或（x-1）2+（y+1）2=2

②证明：设P（x1，y1），

由①知：，

即：

消去t得：=2

∴点P在定圆x2+y2=2上．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

由|F1F2|=2得c=1，∴F1（-1，0），F2（1，0），

又点（1，）在椭圆C上，∴，a=2．则b2=a2-c2=4-1=3．

∴椭圆C的方程为；

（2）如图，

设直线l的方程为x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2），

把x=ty-1代入，得：（3t2+4）y2-6ty-9=0

，

∴==，

∴，

解得：（舍）或t2=1，t=±1．

故所求直线方程为：x±y+1=0．

解析

解：（1）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

由|F1F2|=2得c=1，∴F1（-1，0），F2（1，0），

又点（1，）在椭圆C上，∴，a=2．则b2=a2-c2=4-1=3．

∴椭圆C的方程为；

（2）如图，

设直线l的方程为x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2），

把x=ty-1代入，得：（3t2+4）y2-6ty-9=0

，

∴==，

∴，

解得：（舍）或t2=1，t=±1．

故所求直线方程为：x±y+1=0．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点

（I）设N（-p，0），求的最小值；

（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（I）依题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为：x=my+p，

由⇒y2-2pmy-2p2=0，∴，

=（x1+p）（x2+p）+y1y2=（my1+2p）（my2+2p）+y1y2

=（m2+1）y1y2+2pm（y1+y2）+4p2，=2P2m2+2P2，

当m=0时，+1的最小值为2p2+1；

（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，设AC的中点为O′，

l与以AC为直径的圆相交于P，Q，PQ中点为H，

则O′H⊥PQ，O′的坐标为（，）．

∵|O‘P|=|AC|==，

|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=（x12+p2）-（2a-x1-p）2=（a-p）x1+a（p-a），

|PQ|2=（2|PH|）2=4[（a-p）x1+a（p-a）]2，

令a-p=0得a=p．此时|PQ|=p为定值．

故满足条件的直线l存在，其方程为x=p．

解析

解：（I）依题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为：x=my+p，

由⇒y2-2pmy-2p2=0，∴，

=（x1+p）（x2+p）+y1y2=（my1+2p）（my2+2p）+y1y2

=（m2+1）y1y2+2pm（y1+y2）+4p2，=2P2m2+2P2，

当m=0时，+1的最小值为2p2+1；

（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，设AC的中点为O′，

l与以AC为直径的圆相交于P，Q，PQ中点为H，

则O′H⊥PQ，O′的坐标为（，）．

∵|O‘P|=|AC|==，

|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=（x12+p2）-（2a-x1-p）2=（a-p）x1+a（p-a），

|PQ|2=（2|PH|）2=4[（a-p）x1+a（p-a）]2，

令a-p=0得a=p．此时|PQ|=p为定值．

故满足条件的直线l存在，其方程为x=p．

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题型：填空题

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填空题

已知P为抛物线y2=4x的焦点，过P的直线l与抛物线交与A、B两点，若点Q在直线l上，且满足AP•QB=AQ•PB，则点Q总在定直线x=-1上．试猜测如果点P为椭圆的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A、B两点，点Q在直线l上，且满足AP•QB=AQ•PB，则点Q总在定直线______上．

正确答案

解析

解：由已知P为抛物线y2=4x的焦点，

过P的直线l与抛物线交与A，B两点，

若Q在直线l上，且满足 AP•QB=AQ•PB，

则点Q总在定直线x=-1上．

故满足条件的点在抛物线的直线上，

则我们易类比推断出：

如果P为椭圆的左焦点，

过P的直线l与椭圆交与A，B两点，

若Q在直线l上，且满足 AP•QB=AQ•PB，

则点Q总在椭圆的左准线上，即直线方程为

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．

（Ⅰ）求抛物线C1的方程；

（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）

代入椭圆方程得，

抛物线的方程是：y2=8x…（6分）

（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，；

直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x-4），代入抛物线，得ky2-8y-32k=0，y1+y2=，y1•y2=32，

，

综上S△OCD最小值为．…（12分）

解析

解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）

代入椭圆方程得，

抛物线的方程是：y2=8x…（6分）

（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，；

直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x-4），代入抛物线，得ky2-8y-32k=0，y1+y2=，y1•y2=32，

，

综上S△OCD最小值为．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，过F1作垂直于椭圆长轴的弦|PQ|，其长度为3．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若过F1的直线l交椭圆于A，B两点．判断是否存在直线l使得∠AF2B为钝角，若存在，求出l的斜率k的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）依题意，解得a2=4，b2=3，

∴椭圆的方程为：．

（Ⅱ）（i）当过F1直线AB的斜率不存在时，点，

则，显然∠AF2B不为钝角．

（ii）当过F1直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0．△＞0恒成立．

，

∴

=，

当∠AF2B为钝角时，＜0，所以0＜，且k≠0，

综上所述，满足条件的直线斜率k满足，且k≠0．

解析

解：（Ⅰ）依题意，解得a2=4，b2=3，

∴椭圆的方程为：．

（Ⅱ）（i）当过F1直线AB的斜率不存在时，点，

则，显然∠AF2B不为钝角．

（ii）当过F1直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0．△＞0恒成立．

，

∴

=，

当∠AF2B为钝角时，＜0，所以0＜，且k≠0，

综上所述，满足条件的直线斜率k满足，且k≠0．

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