热门试卷

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．

则，解得，∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2-2=0，

则△=4m2n2-4（m2+2）（n2-2）=4（2m2+4-2n2）＞0，（*）

，，

∴|AB|=

==．

原点O到直线AB的距离d=，

∵，

∴=，化为．（**）

另一方面，=，

∴xE=myE+n==，即E．

∵，∴．

代入椭圆方程得，

化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4-16t2+16=0，解得．

∵t＞0，∴．经验证满足（*）．

当AB∥x轴时，设A（u，v），B（-u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．

则，，解得，或．

又，∴，

∴．

综上可得：．

解：（I）由题意得：在椭圆E中，b=5，且，a2=b2+c2，

∴a2=100，

∴椭圆E的方程为：…（4分）

（II）将y=-4代入椭圆方程中得x2=36，∴x=±6，

∵B点在C点左侧，∴B（-6，-4），C（6，-4）．

∵A（0，5），∴，=（12，0），

设D点（x，y），则

∵，即x+6=6m+12n，y+4=9m，

整理可得m=，n=…（7分）

∴m+n=；

令t=3x+2y，与椭圆方程，消去y整理方程得：满足△≥0，则；…（10分）

∴m+n的最大值为，即时满足…（11分）

而，

∴…（13分）

解：如图所示，

（1）证明：抛物线方程可化为x2=4y，焦点为F（0，1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线l的方程为：y=kx+2；

∴，

化为x2-4kx-8=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=-8；

∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=-8k2+8k2+4=4，

∴•=x1x2+y1y2=-8+4=-4；

（2）由（1）知，x1+x2=4k，x1x2=-8；

∴S△OAB=S△OAP+S△OBP

=|OP|•|x1|+|OP|•|x2|

=|OP|•|x2-x1|

=×2，

∴当k=0时，△OAB面积最小，最小值为4．

解：设椭圆上关于直线l对称的两点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

AB的中点为M（x0，y0），

则由，两式相减得，

即，

又由直线AB的斜率，以及中点公式，

得，即，又由l⊥AB，得，

∴，即y=3x．…①

∵点M在直线l上，∴y0=4x0+m．…②

联立①、②，得，即M（-m，-3m），

根据点M在椭圆的内部，得，

解得．

解：（I）∵|PF|=4，∴xP+=4，

∴P点的坐标是（4-，4），

∴有16=2P（4-）⇒P=4，

∴抛物线方程是y2=8x．

（II）由（I）知点P的坐标为（2，4），

∵∠APB的角平分线与x轴垂直，∴PA、PB的倾斜角互补，即PA、PB的斜率互为相反数，

设PA的斜率为k，则PA：y-4=k（x-2），k≠0

⇒，方程的解为4、y1，

由韦达定理得：y1+4=，即y1=-4，同理y2=--4，

又=8x1，=8x2，

∴kAB===-1，

设AB：y=-x+b，⇒y2+8y-8b=0，

由韦达定理得：y1+y2=-8，y1y2=-8b，

|AB|=|y1-y2|=8，点P到直线AB的距离d=，

S△ABP=2×，设b+2=t

则（b+2）（b2-12b+36）=t3-32t-64-（3t-8）（t-8），

∵△=64+32b＞0⇒b＞-2，y1•y2=-8b≥0⇒b≤0，∴-2＜b≤0，

设t=b+2∈（0，2]，

则（b+2）（b2-12b+36）=t3-16t2+64t=f（t），

f′（t）=3t2-32t-64=（3t-8）（t-8），

由t∈（0，2]知f′（t）＞0，∴f（t）在（0，2]上为增函数，

∴f（t）最大=f（2）=72，

∴△PAB的面积的最大值为2×=24，

此时b=0，直线AB的方程为x+y=0．

解：（1）因为，F2到l的距离，

所以由题设得，

解得，．

由．

（Ⅱ）证明：由，a=2得．

则l的方程为．

故可设．

=（2+，y1），=（2-，y2），

由=0知，3×+y1y2=0，

得y1y2=-6，所以y1y2≠0，

，||=|y1-y2|=|y1+|=|y1|+，

当且仅当时，上式取等号，此时y1=-y2．

即M，N两点关于x轴对称．