热门试卷

解：（Ⅰ）抛物线的准线为，

于是4+=5，p=2，

由此可知抛物线方程为y2=4x．（4分）

（Ⅱ）∵点A的坐标为（4，4），

由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0），∴（6分）

又MN⊥FA，∴，则直线FA的方程为，

直线MN的方程为（8分）

联立方程组，解得，∴点N的坐标为（，）．（10分）

（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为4．

当m=8时，直线AP的方程为x=8，此时，直线AP与圆M相离（12分）

当m≠8时，直线AP的方程为，

即为8x-（8-m）y-8m=0，所以圆心M（0，4）到直线AP的距离，

令d＞4，解得m＞2；令d=4，解得m=2；令d＜4，解得m＜2（14分）

综上所述，当m＞2时，直线AP与圆a+b＞c相离；

当m=2时，直线AP与圆a+b＞c相切；

当m＜2时，直线AP与圆a+b＞c相交．（16分）

解：（1）设M（x，y）是曲线C1上任意一点，

那么点M（x，y）满足-x=1（x＞0）

化简，得抛物线方程：y2=4x（x＞0）．

（2）假设存在直线l，使kOA+kOB+kOC+kOD=0．

①设直线l：x=1，则l与抛物线的交点为A（1，2），C（1，-2），

l与椭圆的交点为B（1，），D（1，-），即有kOA+kOB+kOC+kOD=0．

②设直线l：y=k（x-1），联立抛物线y2=4x，得y2-y-k=0，y1+y2=，

y1y2=-4．则kOA+KOC===4•=-，

直线l与椭圆方程3x2+4y2=12联立消去y，得，（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

x3+x4=，x3x4=，

kOB+kOD==+=2k-k•=2k-k•=-，

由kOA+kOB+kOC+kOD=0即--=0，k=±．

即直线l的方程为：y=±（x-1）．

综上，所有满足条件的直线l为：x=1或y=±（x-1）．

解：（Ⅰ）抛物线C1：y2=4x的焦点F为（1，0），

由题意可得a2-b2=1①

由C1与C2关于x轴对称，可得C1与C2的公共点为（，±），

可得+=1②

由①②解得a=2，b=，

即有椭圆C2的方程为+=1；

（Ⅱ）设l：y=k（x-1），k≠0，代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

即有y1+y2=k（x1+x2）-2k=-2k=，

由P为中点，可得P（，），又PD的斜率为-，

即有PD：y-=-（x-），令y=0，可得x=，

即有D（，0），

可得|PD|==，

又|AB|=•=•

=，

即有==，

由k2+1＞1，可得0＜＜1，

即有0＜＜，

则有的取值范围为（0，）．

解：（1）将x=-c代入椭圆方程+=1，得y=±．

∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为，

∴=，即2a=b2．

又∵离心率e==，a2=b2+c2，

联立解得∴a2=3，b2=2．

∴椭圆C的方程为．

（2）设直线AB的方程为：y=kx+，代入，得（2+3k2）x2+6kx=0．

设A（0，），B（xB，yB），则，yB==，

∵△AF1F2与△BF1F2的面积之和为，

∴=，∴，

∴=-，解得k=．

解：（1）设∠OFQ=θ，则，∴

∵

∴-4≤tanθ≤-1

（2）设所求的双曲线方程为，∴

∴，∴

又∵，∴

∴，

∴．

当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标是或

∴，∴，

∴所求方程为．

解：（1）设F（-c，0），由离心率知，

a2=3c2=3（a2-b2），得3b2=2a2．…①

易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=-c，

代入椭圆方程中，得，解得y=±

由题意，得，得．…②

联立①、②，得，b2=2，

故椭圆C的方程为．

（2）由，消去y，整理，得（3k2+2）x2+6ktx+3t2-6=0，…③

有△=24（3k2+2-t2）＞0，得3k2+2＞t2，…④

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），

由韦达定理，得x1+x2=，，

则x0=，，

∴线段MN的垂直平分线方程为：y-=-（x+），

将P点的坐标（0，-）代入上式中，得--=-（0+），

化简得：3k2+2=4t，代入④式中，有4t＞t2，得0＜t＜4．                  

|MN|==

=．

设原点O到直线MN的距离为d，则，

∴S△MON=•|MN|•d=•．

==，

当t=2时，S△MON有最大值，

此时，由3k2+2=4t知，k=±，

∴△MON面积的最大值为，此时直线l的方程为y=±x+2．

解：（1）设P（x，y）为轨迹上的动点，由题意

即，∴点P的轨迹在椭圆（x≠±2）上；------------4分

（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x1，kx1），则B（-x1，-kx1）

联立方程

整理可得

AB=2OA==

∵M（ ）到直线AB的距离d=

==m

则4（1-m2）k2-4k+1-m2=0

则42-4•4（1-m2）•（1-m2）≥0

即（1-m2）2≤1

又由m≥0可得

0≤m≤

即三角形MAB的最大值为

代入4（1-m2）k2-4k+1-m2=0得

k=

（3）说明：本小题共（8分），建议根据学生提出的问题或猜想的质量划分为三档，其中：

（Ⅰ）此档最高得分（4分），若学生提出诸如：

“设点M（1，b）（ab≠0）为椭圆内一点，过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点，当且仅当kOM=-kAB时，△MAB的面积取得最大值．此推广不充分，且为假命题的猜想，但能举出反例否定之，则最高得（4分）；

若提出的猜想或问题质量不高，则无论能否自行解决，最高得（2分）．

（Ⅱ）此档最高得分（6分），若学生的猜想或设计的问题能将点M的位置推广到一般情况或者能将椭圆方程推广到一般情况（即推广了其中一个条件），则可得（4分）；

若能分析“kOM=-kAB”为假命题，并能进一步尝试发现斜率kAB和kOM之间的关系（但无明确结论），则最高可得（5分）；

学生在自行解决推广其中一个条件的问题中，若能发现kAB和kOM之间的规律（本质规律参考满分一档的解答）或完整解答自己提出的推广问题，则可得（6分）．

（Ⅲ）最高得分（8分），若学生能提出较一般化的推广，例如：

试问1：“设点M（m，n）（mn≠0）和椭圆（a＞0，b＞0），若过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点，试验证：当△MAB的面积取得最大值时，直线AB的泄率kAB和OM所在直线的斜率kOM满足”（或其等价命题）则可得（6分）；

试问2：“设点M（m，n）（mn≠0）和椭圆（a＞0，b＞0），若过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点，试求出当△MAB的面积取得最大值时，直线AB的泄率kAB和OM所在直线的斜率kOM满足的关系式”则可得（5分）；

若能找到本质规律并给予证明，则得满分（8分）．现给出设问1的一种证明：

证明：设M（m，n）（mn≠0），由椭圆的对称性，可设A（acosθ，bsinθ），点A到直线OM的距离为d，由此OM所在直线方程为nx-my=0，∴，

其中，可得

要使d取得最大值，则必有sin（θ+φ）=±1，即∴此时必有，由题设，当d取得最大值时，∴此时，

可以验证，在第（2）题条件下，是以上结论的一个特例．

解：（1）由题意，设椭圆的方程为+=1，

则可得，，

解得，c=1，a=2，b=；

故椭圆C的方程为=1；

（2）设直线L的方程为y=x+b；

则与=1联立消y可得，

7x2+8bx+4b2-12=0，

△=（8b）2-4×7×（4b2-12）＞0，

解得-＜b＜；

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理可得，

x1+x2=，x1x2=；

故|x1-x2|=

==；

故|AB|=|x1-x2|=；

点O到直线AB的距离d=；

故△AOB的面积S=××

=

≤•=；

（当且仅当7-b2=b2，即b=±时，等号成立）；

故此时直线L的方程为：

y=x±．

解：（1）由题意得，A（-a，0），B（a，0），

∵直线DA与直线DB的斜率之积为，

∴，∴，

由点在椭圆C上，则有：，…（2分）

由以上两式可解得a2=4，b2=3．

∴椭圆方程为．      …（4分）

（2）①椭圆右准线的方程为x=4．                            …（5分）

假设存在一个定点E（m，0），使得EM⊥EN．

设点P（x0，y0）（x0≠±2），直线AP的方程为，

令x=4，，∴点M坐标为．

直线BP的方程为，令x=4，，

∴点N坐标为．                                    …（7分）

若EM⊥EN，则，

∵，，

∴．        …（9分）

∵点P在椭圆C上，∴，∴，代入上式，得（4-m）2=9，

∴m=1或m=7，∴点E的坐标为（1，0）或（7，0）．                  …（11分）

②∵，，

∴．

∵，，

∴．

∴=．              …（13分）

设函数，定义域为（-2，2），

当时，即0＜λ≤1时，f（x0）在（-2，2）上单调递减，f（x0）的取值范围为（1，9），

当时，即λ＞1时，f（x0）在上单调递减，在上单调递增，f（x0）的取值范围为．

综上，当0＜λ≤1时，的取值范围为（1，9），

当λ＞1时，的取值范围为．        …（16分）